kanada | Olimpiade Matematika

Posts Tagged ‘kanada’

Kanada 1983 #3

3. Luas segitiga ditentukan oleh panjang sisi-sisinya. Apakah volume tetrahedron ditentukan oleh luas sisi-sisinya?

Solusi:

Tidak. Misalkan $S$ adalah segitiga sama sisi dan $T$ adalah segitiga yang sudutnya mendekati $90^{\circ}$ dan sama kaki, keduanya memiliki luas 4. Pada kedua segitiga, buat garis yang menghubungkan titik-titik tengah sisi-sisinya. Lipat kedua segitiga sepanjang garis-garis tersebut, maka pada masing-masing $S$ dan $T$ didapat empat segitiga dengan luas 1. Perhatikan bahwa $S$ menjadi tetrahedron beraturan dengan volume positif. Tetapi $T$ menjadi tetrahedron yang volumenya mendekati 0. Semakin dekat sudutnya dengan $90^{\circ}$ , volumenya semakin kecil. Jadi dua tetrahedron ini memiliki luas sisi-sisi yang sama tetapi volumenya berbeda, sehingga bukti kita selesai.

Written by olimpiadematematika

25 Juni 2009 at 19:51

Ditulis dalam olimpiade matematika

Tagged with geometri, geometri ruang, kanada, olimpiade matematika, segitiga, tetrahedron, volume

Kanada 1981 #1

1. Untuk setiap bilangan real $t$ , misalkan $[t]$ adalah bilangan bulat terbesar yang tidak lebih dari $t$ . Tunjukkan bahwa persamaan $[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12345$ tidak punya penyelesaian real.

Solusi:

Misalkan $f(x)=[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]$ . Karena $f(195)=12285$ dan $f(196)=12348$ , maka $195<x<196$ . Misalkan $y=x-195$ , jadi $f(y)=12345-12285=60$ . Tetapi $y<1$ , maka $f(y)\le0+1+3+7+15+31=57$ , kontradiksi.

Written by olimpiadematematika

22 Mei 2009 at 21:07

Ditulis dalam olimpiade matematika

Tagged with floor function, fungsi lantai, kanada, matematika, olimpiade, teori bilangan

Kanada 1977 #4

4. Misalkan $p(x)$ dan $q(x)$ adalah dua polinomial dengan koefisien bulat. Misalkan semua koefisien dari $p(x)\cdot q(x)$ genap tetapi tidak semuanya habis dibagi 4. Tunjukkan bahwa satu dari $p(x)$ dan $q(x)$ memiliki semua koefisien genap dan yang lainnya punya koefisien ganjil.

Solusi:

Jika keduanya punya semua koefisien genap, jelas bahwa $p(x)\cdot q(x)$ punya semua koefisien habis dibagi 4. Jika keduanya punya koefisien ganjil, misalkan $x^k$ di $p(x)$ dan $x^l$ di $q(x)$ memiliki koefisien ganjil, maka koefisien $x^{k+l}$ pada $p(x)\cdot q(x)$ memiliki koefisien ganjil, kontradiksi.

Written by olimpiadematematika

13 Mei 2009 at 7:09

Ditulis dalam olimpiade matematika

Tagged with kanada, keterbagian, koefisien, polinomial, soal olimpiade matematika, teori bilangan

Kanada 1977 #2

2. Misalkan $O$ adalah titik pusat lingkaran dan $A$ adalah titik di dalam lingkaran. Tentukan titik $P$ pada keliling lingkaran sehingga sudut $OPA$ maksimum.

Solusi:

Perpanjang $PO$ sampai ke $Q$ sehingga $PQ$ adalah diameter lingkaran. Misalkan $R$ adalah titik pada keliling sehingga $PAR$ garis lurus. Perhatikan bahwa $\angle PRQ=90^{\circ}$ . Jadi $\angle OPA=\angle QPR$ minimum ketika $\angle PQR$ minimum, yaitu ketika panjang tali busur $PR$ minimum. Jelas bahwa ini terjadi ketika $OA$ tegak lurus $PR$ .

Written by olimpiadematematika

13 Mei 2009 at 7:05

Ditulis dalam olimpiade matematika

Tagged with geometri, kanada, keliling, lingkaran, matematika, olimpiade, sudut, Thales

Kanada 1976 #7

7. Diberikan $P(x,y)$ adalah polinomial dengan dua variabel sehingga $P(x,y)=P(y,x)$ untuk semua $x,y$ . Jika $(x-y)$ adalah faktor dari $P(x,y)$ , tunjukkan bahwa $(x-y)^2$ adalah faktor dari $P(x,y)$ .

Solusi:

Misalkan $P(x,y)=(x-y)Q(x,y)$ . Jadi $(x-y)Q(x,y)=P(x,y)=P(y,x)=(y-x)Q(y,x)$ atau $(x-y)(Q(x,y)+Q(y,x))=0$ . Jadi $Q(x,y)+Q(y,x)=0$ untuk $x\ne y$ . Karena $Q(x,y)$ adalah polinomial, $Q(x,x)=0$ untuk semua $x$ , jadi $x-y$ adalah faktor dari $Q(x,y)$ .

Written by olimpiadematematika

11 Mei 2009 at 21:44

Ditulis dalam olimpiade matematika

Tagged with aljabar, anti simetris, dua variabel, faktor, kanada, matematika, olimpiade, polinomial, simetris

Kanada 1976 #5

5. Buktikan bahwa suatu bilangan asli dapat ditulis sebagai jumlah setidaknya dua bilangan asli berurutan jika dan hanya jika bilangan itu bukan pangkat dari 2.

Solusi:

Misalkan $n=k+(k+1)+\ldots+(k+l)=\frac{(2k+l)(l+1)}2$ . Jika $l$ genap, maka $n$ punya faktor ganjil $l+1$ . Jika $l$ ganjil, maka $n$ memiliki faktor ganjil $2k+l$ . Jadi $n$ tidak mungkin pangkat dari 2. Sekarang anggap $n$ bukan pangkat dari 2. Misalkan $n=2^r(2t+1)$ . Kita bisa tulis $n=(2^r-t)+(2^r-t+1)+\ldots+(2^r+t)$ jika $t<2^r$ atau $n=(t-2^r+1)+(t-2^r+2)+\ldots+(2^r+t)$ jika $t\ge 2^r$ . Kita selesai.

Written by olimpiadematematika

11 Mei 2009 at 21:40

Ditulis dalam olimpiade matematika

Tagged with bilangan berurutan, jumlah, kanada, matematika, olimpiade, teori bilangan

Kanada 1975 #4

4. Pada bilangan 3,27, 3 adalah bagian bulatnya sedangkan 0,27 adalah bagian desimalnya. Tentukan sebuah bilangan positif sehingga bagian desimalnya, bagian bulatnya, dan bilangan itu sendiri membentuk barisan geometri.

Solusi:

Misalkan bagian bulatnya $s$ , bagian desimalnya $r$ . Maka $\frac{s}r=\frac{s+r}s$ . Tetapi $s<\frac{s}r=1+\frac{r}s<2$ , maka $s=1$ , sehingga $\frac1r=1+r$ , didapat $r=\frac{-1+\sqrt5}2$ . Bilangan yang kita cari adalah $1+r=\frac{1+\sqrt5}2$ .

Written by olimpiadematematika

10 Mei 2009 at 6:59

Ditulis dalam olimpiade matematika

Tagged with aljabar, barisan geometri, fractional part, fungsi lantai, integer part, kanada, matematika, olimpiade

Kanada 1975 #1

1. Sederhanakan $\left(\frac{1\cdot2\cdot4+2\cdot4\cdot8+\cdots+n\cdot2n\cdot4n}{1\cdot3\cdot9+2\cdot6\cdot18+\cdots+n\cdot3n\cdot9n}\right)^{1/3}$ .

Solusi:

$1\cdot2\cdot4+2\cdot4\cdot8+\cdots+n\cdot2n\cdot4n=1\cdot2\cdot4(1+2^3+3^3+\ldots+n^3)$ , $1\cdot3\cdot9+2\cdot6\cdot18+\cdots+n\cdot3n\cdot9n=1\cdot3\cdot9(1+2^3+3^3+\ldots+n^3)$ . Jadi $\left(\frac{1\cdot2\cdot4+2\cdot4\cdot8+\cdots+n\cdot2n\cdot4n}{1\cdot3\cdot9+2\cdot6\cdot18+\cdots+n\cdot3n\cdot9n}\right)^{1/3}=\left(\frac{1\cdot2\cdot4}{1\cdot3\cdot9}\right)^{1/3}=\frac23$ .

Written by olimpiadematematika

10 Mei 2009 at 6:53

Ditulis dalam olimpiade matematika

Tagged with aljabar, kanada, matematika, olimpiade

Kanada 1974 #5

5. Diberikan lingkaran dengan diameter $AB$ dan titik $X$ pada lingkaran yang berbeda dari $A$ dan $B$ . Misalkan $t_a,t_b,t_x$ adalah garis singgung lingkaran pada titik $A,B,X$ berturut-turut. Misalkan $Z$ adalah titik potong $AX$ dengan $t_b$ , $Y$ adalah titik potong antara garis $BX$ dengan $t_a$ . Tunjukkan bahwa tiga garis $YZ,t_x,AB$ konkuren atau sejajar.

Solusi:

Jika $t_x$ sejajar $AB$ , maka $X$ adalah titik tengah busur $AB$ dan mudah dilihat bahwa $YZ$ sejajar $t_x$ . Sekarang asumsikan $t_x$ tidak sejajar $AB$ . Misalkan $t_x$ memotong $AB,t_b,t_a$ di $V,U,W$ berturut-turut. Perhatikan bahwa $WA=WX$ , maka $\angle WAX=\angle WXA$ . Tetapi $\angle YXA=90^{\circ}$ , maka $\angle WYX=\angle WXY$ , maka $WY=WX$ . Jadi $WY=WA$ , dengan kata lain $W$ adalah titik tengah $AY$ . Dengan cara serupa $U$ titik tengah $BZ$ . Artinya $BZV$ sebangun dengan $AYV$ , sehingga $V,Z,Y$ kolinear, seperti yang diinginkan.

Written by olimpiadematematika

7 Mei 2009 at 19:00

Ditulis dalam olimpiade matematika

Tagged with geometri, kanada, kesebangunan, kolinear, konkurensi, matematika, olimpiade

Kanada 1973 #7

7. Perhatikan bahwa $\frac11=\frac12+\frac12$ , $\frac12=\frac13+\frac16$ , $\frac13=\frac14+\frac1{12}$ , $\frac14=\frac15+\frac1{20}$ . Nyatakan aturan umum berdasarkan contoh-contoh tersebut dan buktikan. Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat $n>1$ , terdapat bilangan asli $i,j$ sehingga $\frac1n=\frac1{i(i+1)}+\frac1{(i+1)(i+2)}+\frac1{(i+2)(i+3)}+\cdots+\frac1{j(j+1)}$ .

Solusi:

Aturan umumnya adalah $\frac1n=\frac1{n+1}+\frac1{n(n+1)}$ , yang jelas terbukti dengan menyamakan penyebutnya.

Perhatikan bahwa (telescoping) $\frac1{i(i+1)}+\frac1{(i+1)(i+2)}+\frac1{(i+2)(i+3)}+\cdots+\frac1{j(j+1)}=\frac1i-\frac1{j+1}$ . Jadi $\frac1n=\frac1i-\frac1{j+1}$ . Tetapi kita bisa ambil $i=n-1,j+1=(n-1)n$ , dan persamaan jelas benar.

Written by olimpiadematematika

12 April 2009 at 13:34

Ditulis dalam olimpiade matematika

Tagged with bilangan, kanada, matematika, olimpiade, telescoping

Olimpiade Matematika

Posts Tagged ‘kanada’

Kanada 1983 #3

Kanada 1981 #1

Kanada 1977 #4

Kanada 1977 #2

Kanada 1976 #7

Kanada 1976 #5

Kanada 1975 #4

Kanada 1975 #1

Kanada 1974 #5

Kanada 1973 #7

Forum Olimpiade.org

Halaman

Hubungi Saya

Update Terakhir