Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

OSP 2006

Bagian pertama (90 menit, 1 poin per soal)

1. Jumlah semua bilangan bulat di antara \sqrt[3]{2006},\sqrt{2006} adalah …

2. Pada trapesium ABCD, AB\parallel DC. Trapesium ini memiliki lingkaran dalam. Jika AB=75,DC=40, maka keliling trapesium adalah …

3. Himpunan semua x yang memenuhi (x-1)^3+(x-2)^2=1 adalah …

4. Bilangan prima dua angka terbesar yang merupakan jumlah dua bilangan prima lainnya adalah …

5. Dari barisan geometri 1, 1/2, 1/4, 1/8, .., diambil sebagian suku-sukunya sehingga didapat barisan geometri tak hingga baru yang jumlahnya 1/7. Tiga suku pertamanya adalah …

6. Luas sisi-sisi sebuah balok adalah 486, 486, 243, 243, 162, 162, volumenya adalah ….

7. Nilai maksimum fungsi f(x)=\left(\frac13\right)^{x^2-4x+3}.

8. Diberikan fungsi f(x)=||x-2|-a|-3. Jika grafik f memotong sumbu-x di tepat tiga titik, maka a=\ldots

9. Misalkan s(n)=1+2+\ldots+n, p(n)=1\cdot2\cdot\cdots\cdot n. Bilangan genap n terkecil sehingga p(n) habis dibagi s(n) adalah …

10. Jika |x|+x+y=10,x+|y|-y=12, maka x+y=\ldots

11. Sebuah himpunan tiga bilangan asli disebut himpunan aritmatika jika salah satu unsurnya merupakan rata-rata dari dua unsur lainnya. Banyaknya subhimpunan aritmatika dari {1,2,3,…,8} adalah …

12. Dari setiap angka a, bilangan N dibuat dengan menuliskan ketiga bilangan a+2,a+1,a, yaitu N=\overline{(a+2)(a+1)a}. Contohnya, jika a=8,N=1098. Kesepuluh bilangan N itu memiliki faktor persekutuan terbesar ….

13. Jika x^2+\frac1{x^2}=47, maka \sqrt{x}+\frac1{\sqrt{x}}=\ldots

14. Sebuah kelas akan memilih seorang murid di antara mereka untuk mewakili kelas tersebut. Setiap murid mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih. Peluang seorang murid laki-laki terpilih sama dengan 2/3 kali peluang terpilihan seorang murid perempuan. Persentase murid laki-laki di kelas tersebut adalah …

15. Pada segitiga ABC, garis bagi sudut A memotong sisi BC di titik D, jika AB=AD=2 dan BD=1, maka CD=\ldots

16. Jika (x-1)^2 membagi ax^4+bx^3+1, maka ab=\ldots

17. Dari titik O, dibuat dua sinar l_1,l_2 yang membentuk sudut lancip \alpha. Titik-titik berbeda A_1,A_3,A_5 terletak pada sinar l_2 sedangkan A_2,A_4,A_6 terletak di l_1. Jika A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4O=OA_5=A_5A_6=A_6A_1, maka \alpha=\ldots

18. Banyaknya bilangan 7-angka berbeda yang dapat dibentuk dengan cara mengubah susunan angka 2504224 adalah …

19. Evan membuat barisan bilangan asli a_1,a_2,a_3,\ldots yang memenuhi a_{k+1}-a_k=2(a_k-a_{k-1})-1 untuk k=2,3,\ldots dan a_2-a_1=2. Jika 2006 muncul dalam barisan, nilai a_1 terkecil yang mungkin adalah …

20. Pada segitiga ABC, garis-garis berat dari titik B dan C saling tegak lurus. Nilai minimum \cot B+\cot C adalah …

Bagian kedua (120 menit, 7 poin per soal)

1. Misalkan ABC siku-siku di B. Titik D pada AC sehingga BD garis tinggi. Jika E,F berturut-turut titik tengah BD,CD, buktikan AE\perp BF.

2. Misalkan m bilangan asli yang memenuhi 1003<m<2006. Diberikan himpunan bilangan asli S=\{1,2,3,\ldots,m\}. Berapa banyak anggota S yang harus dipilih paling sedikit sehingga ada satu pasang anggota yang jumlahnya 2006?

3. Misalkan d=FPB(7n+5,5n+4) di mana n bilangan asli. (a) Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, d=1 atau d=3. (b) Buktikan bahwa d=3 jika dan hanya jika n=3k+1 untuk suatu bilangan asli k.

4. Win punya dua koin. Ia melakukan prosedur berikut berulang-ulang: lempar semua koin yang ia punya bersamaan; koin yang muncul dengan sisi angka diberikan kepada Albert. Tentukan peluang Win mengulangi prosedur ini lebih dari tiga kali.

5. Misalkan a,b,c adalah bilangan-bilangan asli. Jika semua akar ketiga persamaan x^2-2ax+b=0,x^2-2bx+c=0,x^2-2cx+a=0 adalah bilangan asli, tentukan a,b,c.

Kunci Jawaban dan Petunjuk OSP 2006

Written by olimpiadematematika

21 Mei 2009 pada 8:24

%d blogger menyukai ini: