OSP 2006
Bagian pertama (90 menit, 1 poin per soal)
1. Jumlah semua bilangan bulat di antara adalah …
2. Pada trapesium ,
. Trapesium ini memiliki lingkaran dalam. Jika
, maka keliling trapesium adalah …
3. Himpunan semua yang memenuhi
adalah …
4. Bilangan prima dua angka terbesar yang merupakan jumlah dua bilangan prima lainnya adalah …
5. Dari barisan geometri 1, 1/2, 1/4, 1/8, .., diambil sebagian suku-sukunya sehingga didapat barisan geometri tak hingga baru yang jumlahnya 1/7. Tiga suku pertamanya adalah …
6. Luas sisi-sisi sebuah balok adalah 486, 486, 243, 243, 162, 162, volumenya adalah ….
7. Nilai maksimum fungsi .
8. Diberikan fungsi . Jika grafik
memotong sumbu-
di tepat tiga titik, maka
9. Misalkan ,
. Bilangan genap
terkecil sehingga
habis dibagi
adalah …
10. Jika , maka
11. Sebuah himpunan tiga bilangan asli disebut himpunan aritmatika jika salah satu unsurnya merupakan rata-rata dari dua unsur lainnya. Banyaknya subhimpunan aritmatika dari {1,2,3,…,8} adalah …
12. Dari setiap angka , bilangan
dibuat dengan menuliskan ketiga bilangan
, yaitu
. Contohnya, jika
. Kesepuluh bilangan
itu memiliki faktor persekutuan terbesar ….
13. Jika , maka
14. Sebuah kelas akan memilih seorang murid di antara mereka untuk mewakili kelas tersebut. Setiap murid mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih. Peluang seorang murid laki-laki terpilih sama dengan 2/3 kali peluang terpilihan seorang murid perempuan. Persentase murid laki-laki di kelas tersebut adalah …
15. Pada segitiga , garis bagi sudut
memotong sisi
di titik
, jika
dan
, maka
16. Jika membagi
, maka
17. Dari titik , dibuat dua sinar
yang membentuk sudut lancip
. Titik-titik berbeda
terletak pada sinar
sedangkan
terletak di
. Jika
, maka
18. Banyaknya bilangan 7-angka berbeda yang dapat dibentuk dengan cara mengubah susunan angka 2504224 adalah …
19. Evan membuat barisan bilangan asli yang memenuhi
untuk
dan
. Jika 2006 muncul dalam barisan, nilai
terkecil yang mungkin adalah …
20. Pada segitiga , garis-garis berat dari titik
dan
saling tegak lurus. Nilai minimum
adalah …
Bagian kedua (120 menit, 7 poin per soal)
1. Misalkan siku-siku di
. Titik
pada
sehingga
garis tinggi. Jika
berturut-turut titik tengah
, buktikan
.
2. Misalkan bilangan asli yang memenuhi
. Diberikan himpunan bilangan asli
. Berapa banyak anggota
yang harus dipilih paling sedikit sehingga ada satu pasang anggota yang jumlahnya 2006?
3. Misalkan di mana
bilangan asli. (a) Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli
,
atau
. (b) Buktikan bahwa
jika dan hanya jika
untuk suatu bilangan asli
.
4. Win punya dua koin. Ia melakukan prosedur berikut berulang-ulang: lempar semua koin yang ia punya bersamaan; koin yang muncul dengan sisi angka diberikan kepada Albert. Tentukan peluang Win mengulangi prosedur ini lebih dari tiga kali.
5. Misalkan adalah bilangan-bilangan asli. Jika semua akar ketiga persamaan
adalah bilangan asli, tentukan
.