Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

OSP 2007

1. Bilangan ganjil 4-angka terbesar yang hasil penjumlahan semua angkanya bilangan prima adalah …

2. Sejumlah uang terdiri dari koin pecahan Rp 500, Rp 200, dan Rp 100 dengan nilai total Rp 100.000. Jika nilai uang pecahan 500-an setengah dari nilai uang pecahan 200-an tetapi tiga kali nilai uang pecahan 100-an, maka banyaknya koin adalah …

3. Panjang sisi miring sebuah segitiga siku-siku sama dengan dua kali panjang sisi terpendeknya, sedangkan panjang sisi ketiga 1 satuan lebih panjang dari panjang sisi terpendek. Luas segitiga itu adalah … satu luas.

4. Di antara bilangan-bilangan 2006, 2007 dan 2008, bilangan yang memiliki faktor prima berbeda terbanyak adalah …

5. Seorang pedagang mobil bekas menjual dua buah mobil dengan harga yang sama. Ia merugi 10% untuk mobil pertama, tetapi impas (kembali modal) untuk kedua mobil. Persentase keuntungan pedagang itu untuk mobil kedua adalah …

6. Dona menyusun lima persegi yang kongruen menjadi satu bangun datar. Tidak ada persegi yang menindih persegi lainnya. Jika luas bangun yang diperoleh Dona adalah 245 cm2, keliling bangun tersebut paling sedikit adalah … cm.

7. Empat tim sepakbola mengikuti suatu turnamen. Setiap tim bertanding melawan masing-masing tim lainnya sekali. Setiap kali bertanding, suatu tim memperoleh nilai 3 jika menang, 0 jika kalah, dan 1 jika pertandingan berakhir seri. Di akhir turnamen, salah satu tim memperoleh nilai total 4. Jumlah nilai total ketiga tim lainnya paling sedikit adalah …

8. Dalam bentuk sederhana, 1!1+2!2+3!3+\cdots+n!n=\ldots

9. Titik P terletak di Kuadran I pada garis y=x. Titik Q terletak pada garis y=2x demikian, sehingga PQ tegak lurus terhadap garis y=x dan PQ=2. Maka koordinat Q adalah …

10. Himpunan semua bilangan asli n sehingga 6n+30 adalah kelipatan 2n+1 adalah …

11. Suku konstanta pada ekspansi \left(2x^2-\frac1x\right)^9 adalah …

12. Absis titik potong garis l dengan sumbu-x dan ordinat titik potong garis l dengan sumbu-y adalah bilangan-bilangan prima. Jika l juga melalui titik (3,4), persamaan l adalah …

13. Tujuh belas permen dikemas ke dalam kantong-kantong sehingga banyak permen dalam setiap kantong berselisih paling banyak 1. Banyaknya cara mengemas permen tersebut ke dalam paling sedikit dua kantong adalah …

14. Pada himpunan \{(x,y)\mid x\ge0,y\ge0,x+3y\le6,3x+y\le a\}, nilai maksimum x+y adalah 4. Maka a=\ldots

15. Sebuah kubus berukuran 5\times5\times5 disusun dari 125 kubus satuan. Permukaan kubus besar lalu dicat. Rasio sisi (permukaan) ke-125 kubus satuan yang dicat terhadap yang tidak dicat adalah …

16. Sebuah papan persegi dibagi ke dalam 4\times4 petak dan diwarnai seperti papan catur. Setiap petak diberi nomor dari 1 hingga 16. Andi ingin menutup petak-petak pada papan dengan 7 kartu seukuran 2\times1 petak. Agar ke-7 kartunya dapat menutupi papan, ia harus membuang dua petak. Banyak cara ia membuang dua petak adalah …

17. Bilangan-bilangan asli 1,2,\ldots,n dituliskan di papan tulis, kemudian salah satu bilangan dihapus. Rata-rata aritmatika bilangan yang tertinggal adalah 35\frac7{17}. Bilangan n yang memungkinkan ini terjadi adalah …

18. Diberikan segitiga ABC siku-siku di A, titik D pada AC dan titik F pada BC. Jika AE\perp BC dan BD=DC=FC=1, maka AC=\ldots

19. Di antara semua solusi bilanga asli (x,y) persamaan \frac{x+y}2+\sqrt{xy}=54, solusi dengan x terbesar adalah (x,y)=\ldots

20. Misalkan V adalah himpunan titik-titik pada bidang dengan koordinat bilangan bulat dan X adalah himpunan titik tengah dari semua pasangan titik pada himpunan V. Untuk memastikan bahwa ada anggota X yang juga memiliki koordinat bilangan bulat, banyak anggota V paling sedikit harus …

Bagian kedua

1. Misalkan ABCD adalah suatu segiempat dengan AB=BC=CD=DA.
a) Buktikan bahwa titik A harus berada di luar segitiga BCD.
b) Buktikan bahwa setiap pasangan sisi berhadapan pada ABCD selalu sejajar.

2. Misalkan a dan b dua bilangan asli, yang satu bukan kelipatan yang lainnya. Misalkan pula KPK(a,b) adalah bilangan 2-angka, sedangkan FPB(a,b) dapat diperoleh dengan membalik urutan angka pada KPK(a,b). Tentukan b terbesar yang mungkin.

3. Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi x^4-4x^3+5x^2-4x+1=0.

4. Pada segitiga lancip ABC, diberikan AD, BE, dan CF adalah garis-garis tinggi, dengan D, E, dan F berturut-turut pada sisi BC, CA, dan AB. Buktikan bahwa DE+DF\le BC.

5. Bilangan-bilangan 1, 2, 3, …, 15, 16 disusun pada persegi 4\times4. Untuk i=1,2,3,4, misalkan b_i adalah jumlah bilangan-bilangan pada baris ke-i dan k_i adalah jumlah bilangan-bilangan pada kolom ke-i. Misalkan pula d_1 dan d_2 adalaha jumlah bilangan-bilangan pada kedua diagonal. Susunan tersebut disebut antimagic jika b_1,b_2,b_3,b_4,k_1,k_2,k_3,k_4,d_1,d_2 dapat disusun menjadi sepuluh bilangan berurutan. Tentukan bilangan terbesar di antara sepuluh bilangan berurut ini yang dapat diperoleh dari sebuah antimagic.

Kunci Jawaban dan Petunjuk OSP 2007

Iklan

Written by olimpiadematematika

21 Mei 2009 pada 21:29

%d blogger menyukai ini: