Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

OSK 2009

Isian singkat, waktu: 120 menit

1. Banyaknya bilangan asli kurang dari 1000 yang dapat dinyatakan dalam bentuk x^2-y^2 untuk suatu bilangan ganjil x dan y adalah …

2. Bilangan bulat positif terkecil n dengan n>2009 sehingga \sqrt{\frac{1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3}n} merupakan bilangan bulat adalah …

3. Banyaknya solusi real x dari persamaan 3^{1/2+\log_3(\cos x-\sin x)}+2^{\log_2(\cos x+\sin x)}=\sqrt2 adalah …

4. Diberikan fungsi f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} sedemikian hingga x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4 untuk semua x\in\mathbb{R}. Nilai f(2009) adalah …

5. Banyaknya segitiga siku-siku yang kelilingnya 2009 dan sisi-sisinya bilangan bulat serta jari-jari lingkaran dalamnya juga bilangan bulat adalah …

6. Nilai eksak dari \binom{2009}1+\binom{2009}2+\binom{2009}3+\cdots+\binom{2009}{1004} adalah …

7. Jika tiga pasang suami istri akan menempati tujuh kursi yang berjajar ke samping dengan syarat semua suami isteri duduk berdekatan dan tidak ada laki-laki dan perempuan bukan suami isteri yang duduk berdekatan, maka banyak caranya adalah …

8. Nilai dari \sum_{k=1}^{2009}FPB(k,7) adalah …

9. Banyaknya pasangan bilangan asli (x,y) sehingga x^4+4y^4 merupakan bilangan prima adalah …

10. Bilangan real x sehingga pernyataan “x^2=x jika dan hanya jika x^3=x” bernilai salah adalah …

11. Diketahui ABC adalah segitiga siku-siku di A dengan AB=30\text{cm} dan AC=40\text{cm}. Misalkan AD adalah garis tinggi dan E adalah titik tengah AD. Nilai dari BE+CE adalah …

12. Suatu turnamen diikuti oleh 20 tim, di mana setiap tim bertemu satu kali dengan semua tim lain. Kemenangan memperoleh poin 1, sedangkan kekalahan 0. Pada klasemen akhir, 3 tim teratas memperoleh poin yang sama, sedangkan 17 tim lain memperoleh poin yang berbeda-beda. Jumlah semua bilangan yang tidak muncul pada poin yang dimiliki suatu tim pada klasemen akhir adalah …

13. Titik E terletak di dalam persegi ABCD sedemikian rupa sehingga ABE adalah segitiga sama sisi. Jika panjang AB=\sqrt{1+\sqrt3} dan F titik potong antara diagonal BD dengan segmen garis AE, maka luas segitiga ABE sama dengan …

14. Misalkan f(y)=(\sqrt3+1)\sin y+(\sqrt3-1)\cos y. Nilai maksimum untuk (f(y))^2 di mana y bilangan real adalah …

15. Diberikan persegi ABCD dengan panjang sisi 10. Misalkan E pada AB dan F pada BD dengan AE=FB=5. Misalkan P adalah titik potong CE dengan AF. Luas DFPC adalah …

16. Jika x_{k+1}=x_k+\frac12 untuk k=1,2,\ldots dan x_1=1, maka x_1+x_2+\cdots+x_{400}=\ldots

17. Diberikan segitiga ABC tumpul (\angle ABC>90^{\circ}), AD dan AE membagi sudut BAC sama besar. Panjang segmen garis BD, DE dan EC berturut-turut adalah 2, 3, dan 6. Panjang terpendek dari segitiga ABC adalah …

18. Jika 10^{999999999} dibagi 7, maka sisanya adalah …

19. Diketahui A adalah himpunan semua bilangan asli yang habis dibagi 3, tidak habis dibagi 5, dan tidak lebih dari 100. Banyaknya fungsi f dari himpunan semua bilangan real yang tidak nol ke dalam A yang memenuhi f\left(\frac{x}y\right)=f(x-y) adalah …

20. Delapan bilangan asli memiliki rata-rata 6,5. Empat dari delapan bilangan tersebut adalah 4, 5, 7, dan 8. Selisih antara bilangan terbesar dan terkecil adalah 10. Jika kedelapan bilangan diurutkan dari kecil ke besar, maka banyaknya susunan adalah …

Kunci Jawaban

Iklan

Written by olimpiadematematika

24 Mei 2009 pada 20:55

%d blogger menyukai ini: