Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

AIME 1983

1. Misalkan x,y,z>1,w>0 dengan \log_xw=24,\log_yw=40,\log_{xyz}w=12. Tentukan \log_zw.

2. Misalkan f(x)=|x-p|+|x-15|+|x-p-15| di mana p\le x\le15. Tentukan nilai minimum yang dapat diambil f(x) jika 0<p<15.

3. Tentukan hasil kali akar-akar real persamaan x^2+18x+30=2\sqrt{x^2+18x+45}.

4. Sebuah mesin pemotong berbentuk seperti gambar. Jari-jari lingkaran adalah \sqrt{50} cm, panjang AB adalah 6 cm dan BC 2 cm. Sudut ABC adalah sudut siku-siku. Tentukan kuadrat dari jarak (dalam centimeter) dari B ke pusat lingkaran.

aime83

5. Jumlah kuadrat dari dua bilangan kompleks x dan y adalah 7 dan jumlah kubiknya adalah 10. Berapakah nilai real terbesar yang bisa dimiliki x+y?

6. Misalkan a_n=6^n+8^n. Tentukan sisanya jika a_{83} dibagi 49.

7. Dua puluh lima prajurit Raja Arthur duduk di meja bundar. Tiga dari mereka dipilih, masing-masing memiliki peluang yang sama untuk terpilih, dan mereka dikirim untuk membunuh seekor naga. Misalkan P adalah peluang bahwa minimal dua dari tiga yang terpilih duduk bersebelahan. Jika P ditulis dalam pecahan paling sederhana, berapa jumlah pembilang dan penyebutnya?

8. Tentukan faktor prima dua digit terbesar dari \binom{200}{100}.

9. Tentukan nilai minimum dari \frac{9x^2\sin^2x+4}{x\sin x} untuk 0<x<\pi.

10. Bilangan-bilangan 1447, 1005, 1231 memiliki satu hal yang sama. Masing-masing adalah bilangan empat digit yang diawali dengan 1 dan memiliki tepat dua angka identik. Ada berapa bilangan yang seperti itu?

11. Diberikan bangun ruang dengan alas persegi yang panjang sisinya s. Rusuk atasnya sejajar dengan alas dan panjangnya 2s. Semua sisi lainnya memiliki panjang s. Jika s=6\sqrt2, berapa volume bangun tersebut?

aime83a

12. Panjang diameter AB dari sebuah lingkaran adalah bilangan bulat dua digit. Sebuah tali busur CD yang tegak lurus terhadap AB yaitu memiliki panjang yang didapat dari kebalikan digit-digit panjang AB. AB dan CD berpotongan di titik H, yang jaraknya ke pusat lingkaran O adalah bilangan rasional. Tentukan panjang AB.

13. Untuk \{1,2,3,\ldots,n\} dan setiap himpunan bagian tak kosongnya, jumlah bolak-balik didefinsikan sebagai berikut. Susun himpunan tersebut dalam urutan turun kemudian, mulai dari yang terbesar, secara bergantian tambah dan kurangkan bilangan-bilangan secara berurutan. Contohnya, jumlah bolak-balik untuk {1,2,3,6,9} adalah 9-6+3-2+1=6$ dan untuk {5} jumlahnya 5. Tentukan jumlah semua jumlah bolak-balik untuk n=7.

14. Pada gambar berikut, dua lingkaran dengan radius 6 dan 8 dibuat dengan pusat kedua lingkaran 12 unit. Pada P, salah satu titik potongnya, sebuah garis dibuat sehingga tali busur QP dan PR punya panjang yang sama (P adalah titik tengah QR). Tentukan kuadrat dari panjang QP.

15. Dua tali busur AD dan BC dari suatu lingkaran berpotongan. Radius lingkaran adalah 5 dan panjang BC=6. Diketahui AD dibagi dua oleh garis BC. Anggap juga bahwa AD adalah satu-satunya tali busur dari A yang dibagi dua oleh BC. Jika sinus dari busur minor AB ditulis dalam bentuk pecahan sederhana \frac{m}n, tentukan hasil kali mn.

Solusi

Iklan

Written by olimpiadematematika

24 Mei 2009 pada 13:17

%d blogger menyukai ini: