Kanada 1971

1. $DEB$ adalah tali busur sebuah lingkaran sehingga $DE=3,EB=5$ . Titik $O$ adalah pusat lingkaran. Perpanjangan $OE$ memotong lingkaran di titik $C$ . Jika $EC=1$ , tentukan jari-jari lingkaran.	S
2. Misalkan $x,y$ bilangan real positif dengan $x+y=1$ . Tunjukkan bahwa $(1+\frac1x)(1+\frac1y)\ge9$ .	S
3. Diberikan segiempat $ABCD$ dengan $AD=BC$ . Jika $\angle ADC>\angle BCD$ , buktikan $AC>BD$ .	S
4. Cari semua bilangan real $a$ sehingga dua polinomial $x^2+ax+1$ dan $x^2+x+a$ memiliki minimal satu akar yang sama.	S
5. Diketahui $p(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$ , di mana koefisien-koefisien $a_i$ adalah bilangan bulat. Jika $p(0),p(1)$ keduanya ganjil, buktikan $p(x)$ tidak punya akar bulat.	S
6. Tunjukkan bahwa $n^2+2n+12$ bukan kelipatan 121 untuk semua bilangan bulat $n$ .	S
7. Jika $n$ adalah bilangan lima digit (angka pertamanya bukan nol) dan $m$ adalah bilangan empat digit yang dibentuk dengan menghapus digit tengah $n$ . Tentukan semua $n$ sehingga $n/m$ adalah bilangan bulat.	S
8. Sebuah pentagon beraturan memiliki lingkaran luar berjari-jari $r$ . Titik $P$ dipilih sebarang di dalamnya. Dibuat proyeksi dari $P$ ke sisi-sisi pentagon tersebut. a) Buktikan bahwa jumlah panjang proyeksi tersebut konstan. b) Nyatakan nilai konstan ini dalam $r$ .	S
9. Dua buah tiang bendera $AB,CD$ dengan tinggi $h$ dan $k$ berjarak $2a$ dan $B,D$ berada pada permukaan yang rata. Tentukan tempat kedudukan titik $P$ pada permukaan sehingga $\angle PAB=\angle PCD$ .	S
10. Ada $n$ orang, masing-masing mengetahui satu informasi yang berbeda-beda. Setiap kali A menelepon B, A memberi tahu semua informasi yang A tahu, tetapi B tidak memberi tahu apapun. Tentukan banyaknya telepon minimum agar semua orang ini mengetahui semua informasi.	S