Kanada 1970

1. Cari semua tripel $(x,y,z)$ sehingga jika diambil sebarang satu bilangan dari tiga bilangan ini dan ditambahkan ke hasil kali dua bilangan lainnya, hasilnya adalah 2.	S
2. Diberikan segitiga $ABC$ dengan sudut tumpul di $A$ . Panjang garis tingginya dari titik $B$ dan $A$ berturut-turut adalah $h$ dan $k$ . Buktikan bahwa $a+h\ge b+k$ . Kapankah kesamaan terjadi?	S
3. Diberikan kumpulan bola. Semua bola berwarna merah atau biru dan beratnya 1 pon atau 2 pon. Ada minimal satu bola biru dan merah, ada minimal satu bola 1 pon dan 2 pon. Buktikan ada dua bola yang berbeda berat dan warnanya.	S
4. a) Tentukan semua bilangan asli dengan angka pertama 6, sehingga jika angka ini dihapus nilainya menjadi 1/25 bilangan awal. b) Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat sehingga jika angka pertamanya dihapus menjadi 1/35 bilangan awal.	S
5. Sebuah segiempat memiliki setiap titik sudutnya pada sisi persegi yang panjangnya 1. Buktikan bahwa panjang sisi-sisi $a,b,c,d$ memenuhi $2\le a^2+b^2+c^2+d^2\le 4$ .	S
6. Diberikan tiga titik $A,B,C$ yang tidak kolinear. Konstruksikan lingkaran dengan pusat $C$ sehingga garis singgung dari $A$ dan $B$ sejajar.	S
7. Dari lima bilangan bulat, buktikan selalu ada tiga bilangan yang jumlahnya habis dibagi 3.	S
8. Tinjau semua ruas garis yang panjangnya 4 dengan ujung-ujungnya pada garis $y=x$ dan $y=2x$ . Tentukan tempat kedudukan dari titik tengah ruas garis ini.	S
9. Misalkan $f(n)$ adalah jumlah dari $n$ suku pertama dari barisan $0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,\ldots$ a) Tentukan rumus $f(n)$ . b) Buktikan $f(s+t)-f(s-t)=st$ di mana $s>t$ bilangan asli.	S
10. Diberikan polinomial $f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$ dengan koefisien bulat. Diberikan juga bahwa ada empat bilangan asli $a,b,c,d$ sehingga $f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=5$ . Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat $k$ sehingga $f(k)=8$ .	S