Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

Kanada 1970

1. Cari semua tripel (x,y,z) sehingga jika diambil sebarang satu bilangan dari tiga bilangan ini dan ditambahkan ke hasil kali dua bilangan lainnya, hasilnya adalah 2. S
2. Diberikan segitiga ABC dengan sudut tumpul di A. Panjang garis tingginya dari titik B dan A berturut-turut adalah h dan k. Buktikan bahwa a+h\ge b+k. Kapankah kesamaan terjadi? S
3. Diberikan kumpulan bola. Semua bola berwarna merah atau biru dan beratnya 1 pon atau 2 pon. Ada minimal satu bola biru dan merah, ada minimal satu bola 1 pon dan 2 pon. Buktikan ada dua bola yang berbeda berat dan warnanya. S
4. a) Tentukan semua bilangan asli dengan angka pertama 6, sehingga jika angka ini dihapus nilainya menjadi 1/25 bilangan awal. b) Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat sehingga jika angka pertamanya dihapus menjadi 1/35 bilangan awal. S
5. Sebuah segiempat memiliki setiap titik sudutnya pada sisi persegi yang panjangnya 1. Buktikan bahwa panjang sisi-sisi a,b,c,d memenuhi 2\le a^2+b^2+c^2+d^2\le 4. S
6. Diberikan tiga titik A,B,C yang tidak kolinear. Konstruksikan lingkaran dengan pusat C sehingga garis singgung dari A dan B sejajar. S
7. Dari lima bilangan bulat, buktikan selalu ada tiga bilangan yang jumlahnya habis dibagi 3. S
8. Tinjau semua ruas garis yang panjangnya 4 dengan ujung-ujungnya pada garis y=x dan y=2x. Tentukan tempat kedudukan dari titik tengah ruas garis ini. S
9. Misalkan f(n) adalah jumlah dari n suku pertama dari barisan 0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,\ldots a) Tentukan rumus f(n). b) Buktikan f(s+t)-f(s-t)=st di mana s>t bilangan asli. S
10. Diberikan polinomial f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+a_n dengan koefisien bulat. Diberikan juga bahwa ada empat bilangan asli a,b,c,d sehingga f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=5. Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat k sehingga f(k)=8. S
Iklan

Written by olimpiadematematika

8 April 2009 pada 19:02

%d blogger menyukai ini: