Kanada 1969

1. Jika $a_1/b_1=a_2/b_2=a_3/b_3$ dan $p_1,p_2,p_3$ tidak semuanya nol, maka buktikan $\displaystyle\left(\frac{a_1}{b_1}\right)^n=\frac{p_1a_1^n+p_2a_2^n+p_3a_3^n}{p_1b_1^n+p_2b_2^n+p_3b_3^n}.$	S
2. Tentukan mana yang lebih besar dari $\sqrt{c+1}-\sqrt{c},\sqrt{c}-\sqrt{c-1}$ jika $c\ge1$ .	S
3. Misalkan $c$ adalah panjang sisi miring dari segitiga siku-siku di mana sisi-sisi lainnya adalah $a,b$ . Buktikan bahwa $a+b\le\sqrt2c$ . Kapan kesamaan berlaku?	S
4. Misalkan $ABC$ adalah segitiga sama sisi dan $P$ adalah titik sebarang di dalamnya. Garis tegak lurus $PD,PE,PF$ dibuat ke ketiga sisi segitiga. Buktikan bahwa $\frac{PD+PE+PF}{AB+BC+CA}=\frac1{2\sqrt3}$ .	S
5. Jika $ABC$ adalah segitiga dengan panjang sisi $a,b,c$ , dan $CD$ adalah garis bagi, buktikan bahwa $CD=\frac{2ab\cos \frac{C}2}{a+b}$ .	S
6. Tentukan jumlah $1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\cdots+n\cdot n!$ .	S
7. Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat $a,b,c$ sehingga $a^2+b^2-8c=6$ .	S
8. Misalkan $f$ adalah fungsi yang memenuhi: 1) $f(n)$ adalah fungsi yang didefinisikan untuk semua bilangan asli $n$ ; 2) $f(n)$ adalah bilangan bulat; 3) $f(2)=2$ ; 4) $f(mn)=f(m)f(n)$ untuk semua $m,n$ ; 5) $f(m)>f(n)$ jika $m>n$ . Buktikan bahwa $f(n)=n$ .	S
9. Buktikan bahwa semua segiempat yang memiliki lingkaran luar beradius 1, panjang sisi terpendeknya tidak lebih dari $\sqrt2$ .	S
10. Misalkan $ABC$ adalah segitiga sama kaki siku-siku yang panjang sisi-sisi yang bukan sisi miringnya adalah 1. Titik $P$ ada pada sisi miring dari $Q,R$ pada $AC,BC$ sehingga $PQ\perp AC,PR\perp BC$ . Tinjau luas segitiga $APQ,PBR,QCRP$ . Buktikan bahwa yang terbesar dari tiga luas ini minimal $2/9$ .	S