Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

Kanada 1969

1. Jika a_1/b_1=a_2/b_2=a_3/b_3 dan p_1,p_2,p_3 tidak semuanya nol, maka buktikan \displaystyle\left(\frac{a_1}{b_1}\right)^n=\frac{p_1a_1^n+p_2a_2^n+p_3a_3^n}{p_1b_1^n+p_2b_2^n+p_3b_3^n}. S
2. Tentukan mana yang lebih besar dari \sqrt{c+1}-\sqrt{c},\sqrt{c}-\sqrt{c-1} jika c\ge1. S
3. Misalkan c adalah panjang sisi miring dari segitiga siku-siku di mana sisi-sisi lainnya adalah a,b. Buktikan bahwa a+b\le\sqrt2c. Kapan kesamaan berlaku? S
4. Misalkan ABC adalah segitiga sama sisi dan P adalah titik sebarang di dalamnya. Garis tegak lurus PD,PE,PF dibuat ke ketiga sisi segitiga. Buktikan bahwa \frac{PD+PE+PF}{AB+BC+CA}=\frac1{2\sqrt3}. S
5. Jika ABC adalah segitiga dengan panjang sisi a,b,c, dan CD adalah garis bagi, buktikan bahwa CD=\frac{2ab\cos \frac{C}2}{a+b}. S
6. Tentukan jumlah 1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\cdots+n\cdot n!. S
7. Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat a,b,c sehingga a^2+b^2-8c=6. S
8. Misalkan f adalah fungsi yang memenuhi:
1) f(n) adalah fungsi yang didefinisikan untuk semua bilangan asli n;
2) f(n) adalah bilangan bulat;
3) f(2)=2;
4) f(mn)=f(m)f(n) untuk semua m,n;
5) f(m)>f(n) jika m>n.
Buktikan bahwa f(n)=n.
S
9. Buktikan bahwa semua segiempat yang memiliki lingkaran luar beradius 1, panjang sisi terpendeknya tidak lebih dari \sqrt2. S
10. Misalkan ABC adalah segitiga sama kaki siku-siku yang panjang sisi-sisi yang bukan sisi miringnya adalah 1. Titik P ada pada sisi miring dari Q,R pada AC,BC sehingga PQ\perp AC,PR\perp BC. Tinjau luas segitiga APQ,PBR,QCRP. Buktikan bahwa yang terbesar dari tiga luas ini minimal 2/9. S
Iklan

Written by olimpiadematematika

6 April 2009 pada 21:53

%d blogger menyukai ini: