Solusi AIME 1983

1. Perhatikan bahwa $\log_wx=\frac1{24}$ , $\log_wy=\frac1{40}$ dan $\log_w{xyz}=\frac1{12}$ , maka $\log_wz=\frac1{12}-\frac1{40}-\frac1{24}=\frac1{60}$ , jadi $\log_zw=60$ .

2. $f(x)=(x-p)+(15-x)+(p+15-x)=30-x\ge30-15=15$ .

3. Misalkan $x^2+18x+30=y$ , maka $y=2\sqrt{y+15}$ . Kuadratkan, didapat $y^2=4y+60$ atau $y^2-4y-60=0$ , $(y+6)(y-10)=0$ , maka $y=-6$ atau $y=10$ . Jika $x^2+18x+30=-6$ , maka $x^2+18x+36=0$ yang memiliki dua akar real dengan hasil kali 36. Jika $x^2+18x+30=10$ , maka $x^2+18x+20=0$ yang memiliki dua akar real lagi dengan hasil kali 20. Jadi hasil kali semua akarnya adalah 720.

4. Perhatikan gambar. Misalkan $OE=x,OD=y$ . Maka $OA^2=OD^2+AD^2$ dan $OC^2=EC^2+EO^2$ , sehingga $50=y^2+(6-x)^2=x^2+(y+2)^2$ . Selesaikan ini, didapat $x=1,y=5$ , maka $OB^2=1^2+5^2=26$ .

5. Misalkan $x+y=a$ , maka $xy=\frac{a^2-7}2$ . Dari $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$ , substitusikan nilai-nilai yang kita ketahui, didapat $(a-1)(a-4)(a+5)=0$ , maka nilai maksimumnya 4.

6. Perhatikan bahwa $a_{83}=6^{83}+8^{83}=(7-1)^{83}+(7+1)^{83}$ . Uraikan dengan binomium Newton, maka didapat modulo 49-nya adalah $\binom{83}17-1+\binom{83}17+1\equiv35\pmod{49}$ .

7. Banyaknya cara memilih tiga prajurit adalah $\binom{25}3$ . Banyaknya cara memilih tiga orang yang berurutan adalah 25, banyaknya cara memilih tiga orang sehingga hanya dua yang bersebelahan adalah $25\times 21$ (pilih dua orang bersebelahan dulu kemudian pilih orang ketiga yang tidak bersebelahan dengan kedua orang itu). Maka peluangnya adalah $\frac{25+25\times21}{\binom{25}3}=\frac{11}{46}$ . Jawabannya 11+46=57.

8. Perhatikan bahwa $\binom{200}{100}=\frac{101\cdot102\cdots200}{1\cdot2\cdots100}$ . Penyebutnya mengandung semua bilangan prima dua digit, maka faktor prima itu harus muncul minimal dua kali di $101\cdot102\cdots200$ . Jadi $3p\le200$ , $p\le66$ . Bilangan prima terbesar yang memenuhi ini adalah 61, dan mudah dicek bahwa 61 muncul dua kali di pembilang dan satu kali di penyebut.

9. Gunakan ketaksamaan AM-GM, $\frac{9x^2\sin^2x+4}{x\sin x}=9x\sin x+\frac4{x\sin x}\ge12$ . Kesamaan terjadi ketika $9x\sin x=\frac4{x\sin x}$ , yaitu $x\sin x=\frac23$ . Tetapi $x\sin x$ adalah fungsi kontinu pada interval $[0,\pi/2]$ , maka nilai tersebut pasti bisa tercapai.

10. Ada beberapa kemungkinan nilai seperti berikut (setiap huruf mewakili angka yang berbeda-beda): 11ab, 1a1b, 1ab1, 1aab, 1aba, 1baa. Banyaknya bilangan ini adalah $6\times(9\times8)=432$ .

11. Mudah dilihat bahwa tinggi bangun tersebut adalah 6. Perhatikan gambar di bawah. Kita lengkapi bangun tersebut menjadi prisma segitiga yang volume $\frac{6\sqrt2\cdot12\sqrt2\cdot6}2=432$ . Kita kurangi ini dengan volume dua piramida tambahan yang luasnya $2\times\frac{6\sqrt2\cdot3\sqrt2\cdot6}3=144$ . Jadi volume bangun yang kita cari adalah $432-144=288$ .

12. Misalkan $AB=10a+b,CD=10b+a$ . Maka $CO=\frac{10a+b}2$ dan $CH=\frac{10b+a}2$ , maka $HO=\sqrt{\left(\frac{10a+b}2\right)^2-\left(\frac{10b+a}2\right)^2}=\frac32\sqrt{11(a+b)(a-b)}$ . Maka bisa didapat $a+b=11,a-b=1$ , sehingga $a=6,b=5$ . Jadi $AB=65$ .

13. Jika $S$ adalah himpunan bagian tak kosong dan $\{1,2,3,4,5,6\}$ , jumlah bolak-balik dari $S$ dengan jumlah bolak-balik dari $S\cup\{7\}$ adalah 7. Karena ada $2^6-1=63$ pasang seperti ini, maka jumlah semuanya adalah $63\times7=441$ . Tapi masih ada satu himpunan bagian yang belum dihitung yaitu {7} yang jumlahnya 7. Jadi jawabannya 448.

14. $A,B$ diproyeksikan ke $RQ$ sampai di $C,D$ berturut-turut. Titik $B$ diproyeksikan ke $AC$ di titik $K$ . Misalkan $AB$ memotong lingkaran besar dan kecil di $M,N$ berturut-turut. Perhatikan bahwa $BKA$ adalah segitiga siku-siku dan $AM=MB$ , maka $KM$ adalah garis berat sehingga $KM=6$ . Misalkan $PR=x$ . Perhatikan bahwa $KBA$ dan $CRA$ adalah dua segitiga sebangun dengan perbandingan panjang $3:2$ . Maka $CA=\sqrt{AR^2-CR^2}=\sqrt{AP^2-CP^2}$ . Substitusikan $AR=18,CR=\frac32x,CP=x,AP=8$ , didapat $x^2=130$ .

15. Misalkan $A$ adalah titik tetap dan $D$ bergerak sepanjang lingkaran. Misalkan juga $N$ adalah titik tengah dari tali busur $AD$ . Perhatikan bahwa titik $N$ bergerak di sepanjang lingkaran di mana $AO$ adalah diameternya, anggaplah pusat lingkaran ini adalah $P$ . Titik $N$ bisa memotong $BC$ di nol, satu, atau dua titik. Menurut pernyataan soal, hanya ada satu titik $N$ di $BC$ , maka lingkaran $P$ menyinggung garis $BC$ . Perhatikan bahwa $BO=5,BM=3$ , maka $MO=4$ dan $\tan BOM=\frac34$ . Perhatikan juga bahwa $MO=PN+PO\cos\angle AOM=\frac52+\frac52\cos\angle AOM=4$ , maka $\cos\angle AOM=\frac35$ . Jadi $\tan \angle AOB=\frac{\tan\angle AOM-\tan\angle BOM}{1+\tan\angle AOM\tan\angle BOM}=\frac7{24}$ . Jadi $\sin AOM=\frac7{25}$ dan jawabannya $7\cdot25=175$ .