Kanada 1975

1. Sederhanakan $\left(\frac{1\cdot2\cdot4+2\cdot4\cdot8+\cdots+n\cdot2n\cdot4n}{1\cdot3\cdot9+2\cdot6\cdot18+\cdots+n\cdot3n\cdot9n}\right)^{1/3}$ .	S
2. Barisan $a_1,a_2,a_3,\ldots$ memenuhi $a_1=\frac12$ dan $a_1+a_2+\cdots+a_n=n^2a_n$ . Tentukan nilai dari $a_n$ .	S
3. Tentukan kumpulan titik $(x,y)$ sehingga $\lfloor x\rfloor ^2+\lfloor y\rfloor^2=4$ .	S
4. Pada bilangan 3,27, 3 adalah bagian bulatnya sedangkan 0,27 adalah bagian desimalnya. Tentukan sebuah bilangan positif sehingga bagian desimalnya, bagian bulatnya, dan bilangan itu sendiri membentuk barisan geometri.	S
5. $A,B,C,D$ adalah empat titik berurutan pada keliling lingkaran dan $P,Q,R,S$ adalah titik pada keliling yang merupakan titik tengah dari busur $AB,BC,CD,DA$ . Buktikan bahwa $PR$ tegak lurus $QS$ .	S
6. (i) 15 kursi berada di sekeliling meja bundar di mana terdapat kartu nama untuk 15 tamu. Para tamu tidak menyadari kartu-kartu tersebut sampai mereka duduk, dan ternyata tidak ada yang duduk di tempat yang tepat. Buktikan bahwa meja itu dapat diputar sehingga ada minimal dua orang yang duduk pada posisi yang tepat. (ii) Berikan contoh susunan di mana hanya satu tamu yang duduk di posisi yang tepat dan tidak ada rotasi yang menempatkan lebih dari satu orang secara tepat.	S
7. Apakah fungsi $\sin(x^2)$ periodik?	S
8. Tentukan semua polinomial dengan koefisien real sehingga $P(P(x))=(P(x))^k$ dengan $k$ bilangan bulat positif.	S