Kanada 1974

1. (i) Jika $x=(1+\frac1n)^n$ dan $y=(1+\frac1n)^{n+1}$ buktikan bahwa $x^y=y^x$ . (ii) Untuk setiap bilangan asli $n$ , tunjukkan bahwa $1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots+(-1)^n(n-1)^2+(-1)^{n+1}n^2=(-1)^{n+1}(1+2+\cdots+n)$ .	S
2. Misalkan $ABCD$ adalah persegi panjang dengan $BC=3AB$ . Jika $P,Q$ adalah titik pada sisi $BC$ dengan $BP=PQ=QC$ , buktikan bahwa $\angle DBC+\angle DPC=\angle DQC$ .	S
3. Misalkan $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$ adalah polinomial sehingga $0\le a_i\le a_0,\forall i=1,2,\ldots,n$ . Misalkan $b_0,b_1,\ldots,b_{2n}$ adalah koefisien-koefisien dari $(f(x))^2=(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n)^2=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_{2n}x^{2n}$ . Buktikan bahwa $b_{n+1}\le\frac12(f(1))^2$ .	S
4. Diberikan bilangan asli tetap $n$ . Jika $0\le x_i\le1,\forall i=1,2,\ldots,n$ , tentukan nilai maksimum dari $\sum_{1\le i<j\le n} \|x_i-x_j\|$ .	S
5. Diberikan lingkaran dengan diameter $AB$ dan titik $X$ pada lingkaran yang berbeda dari $A$ dan $B$ . Misalkan $t_a,t_b,t_x$ adalah garis singgung lingkaran pada titik $A,B,X$ berturut-turut. Misalkan $Z$ adalah titik potong $AX$ dengan $t_b$ , $Y$ adalah titik potong antara garis $BX$ dengan $t_a$ . Tunjukkan bahwa tiga garis $YZ,t_x,AB$ konkuren atau sejajar.	S
6. Tersedia suplai koin 8 sen dan 15 sen yang tak terbatas. Tentukan nilai terbesar yang tidak bisa didapat dari jumlah kombinasi koin-koin itu.	S
7. Suatu rute bus dengan jalan melingkar berkeliling 10 mil dan jalan lurus berpanjang 1 mil berjalan dari terminal ke titik Q pada jalan melingkar. Ada dua bus yang berjalan, masing-masing memerlukan 20 menit untuk satu putaran. Bus pertama berjalan sepanjang jalan lurus dari terminal, memutari lingkaran searah jarum jam dan kembali sepanjang jalan lurus ke terminal. Bus kedua, mencapai terminal 10 menit setelah bus pertama, memiliki rute yang sama kecuali bahwa bus kedua berputar berlawanan jarum jam pada lingkaran. Kedua bus berjalan terus menerus dan waktu berhenti ketika mengambil penumpang bisa diabaikan. Seorang penumpang menunggu di titik P yang jaraknya $x$ mil dari terminal sepanjang rute bus pertama dan pergi ke terminal dengan salah satu bus. Ia memilih bus yang membuat dia tiba di tujuan paling cepat. Misalkan $w(x)$ adalah waktu maksimum perjalanannya (termasuk menunggu). Tentukan $w(2),w(4)$ . Tentukan $x$ sehingga $w(x)$ maksimum. Buat grafik $y=w(x)$ untuk $0\le x<12$ .	S