Kanada 1972

1. Diberikan tiga lingkaran unit (radiusnya 1) berbeda, masing-masing bersinggungan dengan dua lainnya. Tentukan radius lingkaran yang bersinggungan dengan ketiga lingkaran.	S
2. Misalkan $a_1,a_2,\ldots,a_n$ adalah bilangan real tidak negatif. Definisikan $M$ adalah jumlah dari hasil kali pasangan $a_ia_j$ ( $i<j$ ) yaitu $M=a_1(a_2+a_3+\cdots+a_n)+a_2(a_3+a_4+\cdots+a_n)+\cdots+a_{n-1}a_n$ . Buktikan bahwa kuadrat dari salah satu di antara $a_1,a_2,\ldots,a_n$ tidak melebihi $\frac{2M}{n(n-1)}$ .	S
3. a) Buktikan bahwa 10201 komposit pada basis apapun yang lebih besar dari 2. b) Buktikan bahwa 10101 komposit untuk basis apapun.	S
4. Tentukan cara mengkonstruksi sebuah segiempat $ABCD$ jika diberikan panjang semua sisi, $AB\parallel CD$ , sinar $BC$ dan $DA$ tidak berpotongan.	S
5. Buktikan bahwa persamaan $x^3+11^3=y^3$ tidak memiliki solusi dalam bilangan asli $x,y$ .	S
6. Misalkan $a,b$ bilangan real berbeda. Buktikan bahwa ada bilangan bulat $m,n$ sehingga $am+bn<0,bm+an>0$ .	S
7. a) Buktikan bahwa nilai $x$ yang memenuhi $x=\frac{x^2+1}{198}$ berada di antara 1/198 dan 197,99494949…. b) Gunakan hasil a untuk membuktikan bahwa $\sqrt2<1,41\overline{421356}$ . c) Apakah benar $\sqrt2<1,41421356$ ?	S
8. Dalam suatu kampanye pemilu, ada $p$ janji berbeda yang dibuat oleh partai-partai politik. Beberapa partai bisa membuat janji yang sama, setiap dua partai memiliki setidaknya satu janji yang sama, tetapi tidak ada dua partai yang semua janjinya sama. Buktikan bahwa banyaknya partai tidak lebih dari $2^{p-1}$ .	S
9. Empat garis berbeda $L_1,L_2,L_3,L_4$ diberikan pada bidang sehingga $L_1\parallel L_3,L_2\parallel L_4$ . Tentukan tempat kedudukan titik yang bergerak sehingga jumlah jaraknya ke empat garis tersebut konstan.	S
10. Tentukan nilai maksimum dari banyaknya suku sebuah barisan geometri dengan rasio lebih besar dari 1 dan anggota-anggotanya adalah bilangan bulat dari 100 sampai 1000.	S