Indonesia 2005

Hari pertama (3 jam)

1. Misalkan $n$ bilangan bulat positif. Tentukan banyaknya segitiga yang panjang sisi-sisinya adalah bilangan bulat dan sisi terpanjangnya adalah $n$ .	S
2. Untuk bilangan asli $n$ , didefinisikan $p(n)$ sebagai hasil kali digit-digitnya. Tentukan semua bilangan asli $n$ sehingga $11p(n)=n^2-2005$ .	S
3. Misalkan $k$ dan $m$ adalah bilangan-bilangan asli sehingga $\frac12(\sqrt{k+4\sqrt{m}}-\sqrt{k})$ adalah bilangan bulat. a) Buktikan bahwa $\sqrt{k}$ adalah bilangan rasional. b) Buktikan bahwa $\sqrt{k}$ bilangan asli.	S
4. Diberikan segitiga $ABC$ dan titik $M$ di dalamnya sehingga $\angle AMC=90^{\circ},\angle AMB=150^{\circ},\angle BMC=120^{\circ}$ . Misalkan $P,Q,R$ adalah titik pusat lingkaran luar dari segitiga $AMC,AMB,BMC$ . Buktikan bahwa luas segitiga $PQR$ lebih besar dari luas segitiga $ABC$ .	S

Hari kedua (3 jam)

5. Buktikan bahwa ada tepat satu bilangan bulat $m$ yang memenuhi $m-\lfloor m/2005\rfloor=2005$ .	S
6. Tentukan semua tripel $(x,y,z)$ sehingga $x(y+z)=y^2+z^2-2\\ y(z+x)=z^2+x^2-2\\z(x+y)=x^2+y^2=2.$	S
7. Misalkan $ABCD$ adalah segiempat konveks. Buat empat persegi dengan sisi-sisi $AB,BC,CD,DA$ ke arah luar. Pada masing-masing persegi, buat titik perpotongan kedua diagonalnya, sebut mereka $K,L,M,N$ . Buktikan bahwa $KM$ tegak lurus $LN$ .	S
8. Sebuah kompetisi matematika diikuti oleh 90 peserta. Setiap peserta berkenalan dengan paling sedikit 60 peserta lainnya. Salah seorang peserta, Amin, menyatakan bahwa setidaknya terdapat empat orang peserta yang banyak teman barunya sama. Periksa kebenaran pernyataan Amin.	S