Indonesia 2004

Hari pertama (3 jam)

1. Berapa banyaknya faktor positif genap dan ganjil dari $5^6-1$ ?	S
2. Sebuah bak bila diisi dengan keran air dingin akan penuh dalam 14 menit. Untuk mengosongkan bak yang penuh dengan membuka lubang pada dasar bak, air akan keluar semua dalam waktu 21 menit. Jika keran air dingin dan air panas dibuka bersamaan dan lubang pada dasar bak dibuka, bak akan penuh dalam 12,6 menit. Maka berapa lamakah waktu yang diperlukan untuk memenuhkan bak hanya dengan keran air panas dan lubang pada dasar bak ditutup?	S
3. $12345678910$ . Berapa cara menyusun deret di atas dengan mengganti tanda $$ dengan + atau – sehingga hasilnya 29?	S
4. Ada 4 lingkaran $a,b,c,d$ . Lingkaran $a$ menyinggung $b,d$ , lingkaran $b$ menyinggung $a,c$ , lingkaran $c$ menyinggung $b,d$ , lingkaran $d$ menyinggung $a,c$ . Maka ada empat titik singgung yang didapat. Buktikan bahwa keempat titik singgung ini berada pada satu lingkaran.	S

Hari kedua (3 jam)

5. Jika $a+4b+9c+16d+25e+36f+49g=1$ , $4a+9b+16c+25d+36e+49f+64g=12$ , $9a+16b+25c+36d+49e+64f+81g=123$ , tentukan nilai dari $16a+25b+36c+49d+64e+81f+100g$ .	S
6. Persamaan kuadrat $x^2+ax+b+1=0$ , di mana $a,b$ bilangan bulat$, memiliki akar-akar bilangan asli. Buktikan bahwa $a^2+b^2$ bukan bilangan prima.	S
7. Jika $ABC$ segitiga siku-siku di $C$ , buktikan bahwa diameter lingkaran dalamnya adalah $a+b-c$ .	S
8. Sebuah lantai luasnya 3 meter persegi ditutupi lima buah karpet dengan ukuran masing-masing 1 meter persegi. Buktikan bahwa ada dua karpet yang tumpang tindih dengan luas tumpang tindih minimal 0,2 meter persegi.	S