Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

OSP 2005

Bagian pertama (1 poin per soal)

1. Jika a bilangan rasional dan b bilangan irasional, maka a+b adalah bilangan …

2. Jumlah sepuluh bilangan prima pertama adalah …

3. Banyaknya himpunan X sehingga \{1,2\}\subseteq X\subseteq\{1,2,3,4,5\} adalah …

4. Jika N=123456789101112\ldots9899100 maka tiga angka pertama \sqrt{N} adalah …

5. Misalkan ABCD sebuah trapesium dengan BC\parallel AD. Titik P dan R berturut-turut adalah titik tengah AB dan CD. Titik Q pada BC dengan BQ:QC=3:1 dan S pada AD dengan AS:SD=1:3. Rasio luas PQRS terhadap ABCD adalah …

6. Bilangan tiga angka terkecil yang adalah bilangan kuadrat sempurna dan bilangan kubik sempurna sekaligus adalah …

7. Jika a\le b bilangan asli sehingga \frac{\sqrt3+\sqrt{a}}{\sqrt4+\sqrt{b}} adalah bilangan rasional, maka (a,b)=\ldots

8. Jika AB=AC,AD=BD, \angle DAC=39^{\circ}, \angle BAD=\ldots

9. Ketika mendaki bukit, seseorang berjalan dengan kecepatan 1,5 km/jam. Ketika menuruni bukit, ia berjalan tiga kali lebih cepat. Jika waktu yang dibutuhkan untuk perjalanan bolak-balik dari kaki bukit ke puncak dan kembali ke kaki bukit adalah 6 jam, maka jarak antara kaki bukit dan puncak bukit adalah …

10. Sebuah segienam beraturan dan sebuah segitiga sama sisi memiliki keliling yang sama. Jika luas segitiga \sqrt3, luas segienam adalah …

11. Dua dadu dilempar bersama-sama. Peluang kedua angka adalah bilangan prima adalah …

12. Keliling sebuah segitiga sama sisi adalah p. Misalkan Q adalah titik di dalam segitiga itu. Jika jumlah jarak dari Q ke ketiga sisinya adalah s, maka p dinyatakan dalam s adalah …

13. Barisan bilangan asli (a,b,c) dengan a\ge b\ge c yang memenuhi ab+bc=44, ac+bc=23 adalah …

14. Empat titik berbeda terletak di sebuah garis. Jarak antara dua titik sebarang dapat diurutkan menjadi 1,4,5,k,9,10. Maka k=…

15. Sebuah kelompok terdiri dari 2005 anggota. Setiap anggota memiliki tepat satu rahasia. Setiap anggota dapat mengirim surat ke anggota lain untuk menyampaikan seluruh rahasia yang dipegangnya. Banyaknya surat yang perlu dikirim agar semua anggota kelompok mengetahui seluruh rahasia adalah …

16. Banyaknya pasangan bilangan bulat (x,y) sehingga 2xy-5x+y=55 adalah …

17. Himpunan A dan B saling lepas dan A\cup B=\{1,2,3,\ldots,9\}. Hasil perkalian semua unsur A sama dengan jumlah semua unsur B. Unsur terkecil B adalah …

18. Bentuk sederhana dari \frac{2^3-1}{2^3+1}\frac{3^3-1}{3^3+1}\frac{4^3-1}{4^3+1}\cdots\frac{100^3-1}{100^3+1}=\ldots

19. Misalkan ABCD adalah limas segitiga beraturan, yaitu bangun ruang bersisi empat yang berbentuk segitiga sama sisi. Misalkan S adalah titik tengah rusuk AB dan T adalah titik tengah rusuk CD. Jika panjang rusuk ABCD adalah 1 satuan panjang, maka panjang ST adalah …

20. Jika x memenuhi \lfloor x+\sqrt3\rfloor=\lfloor x\rfloor+\lfloor\sqrt3\rfloor, maka x-\lfloor x\rfloor tidak akan lebih besar dari …

Bagian kedua (7 poin per soal)

1. Panjang sisi terbesar pada segiempat tali busur ABCD adalah a, dan jari-jari lingkaran luarnya adalah 1. Tentukan nilai minimum a dan tentukan segiempat bagaimana yang memberikan nilai minimum tersebut.

2. Di dalam sebuah kotak ada 4 bola yang bernomor 1,2,3,4. Anggi mengambil bola dengan acak, mencatat nomornya, kemudian dikembalikan. Ini dilakukan empat kali. Jika jumlah dari keempat bola adalah 12, berapa peluang bola yang terambil semuanya 3?

3. Jika \alpha,\beta,\gamma adalah akar-akar dari x^3-x-1=0, tentukan \frac{1+\alpha}{1-\alpha}+\frac{1+\beta}{1-\beta}+\frac{1+\gamma}{1-\gamma}.

4. Panjang ketiga sisi dari sebuah segitiga siku-siku adalah bilangan bulat a,b,c dengan a\le b\le c. Tentukan (a,b,c) sehingga nilai kelilingnya sama dengan nilai luasnya.

5. Misalkan A dan B dua himpunan, masing-masing beranggotakan bilangan-bilangan asli berurutan. Jumlah rata-rata aritmatika unsur-unsur A dan rata-rata unsur-unsur B adalah 5002. Jika A\cap B=\{2005\}, tentukan unsur terbesar yang mungkin dari A\cup B.

Kunci Jawaban dan Petunjuk

Written by olimpiadematematika

18 Mei 2009 pada 21:26

%d blogger menyukai ini: