Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

OSP 2004

Bagian pertama (1 poin per soal)

1. Jika x,y bilangan real tak nol dengan \frac1x+\frac1y=10 dan x+y=40, tentukan nilai xy.

2. Sebotol sirup bisa digunakan untuk membuat 60 gelas minuman jika dilarutkan dalam air dengan perbandingan sirup dan air 1:4 Berapa gelas minuman yang didapat dari satu botol sirup jika perbandingan larutan sirup dan air 1:5?

3. Penduduk Jawa Tengah adalah 25% dari penduduk pulau Jawa dan 15% penduduk Indonesia. Berapa persen penduduk Indonesia di luar pulau Jawa?

4. Ketika menghitung volume sebuah tabung, Dina melakukan kesalahan. Ia memasukkan diameter alas ke dalam rumus volume tabung, padahal seharusnya jari-jari alas yang dimasukkan. Berapa rasio hasil perhitungan Dina terhadap hasil seharusnya?

5. Tiga lingkaran melalui titik pusat koordinat (0,0). Pusat lingkaran pertama terletak di kuadran I, pusat lingkaran kedua di kuadran II, pusat lingkaran ketiga di kuadran III. Jika P adalah titik di dalam ketiga lingkaran itu, di kuadran mana titik itu berada?

6. Diberikan gambar pertama, kedua dan ketiga seperti berikut. Tentukan banyaknya bulatan hitam pada gambar ke-n.

osp04

7. Diberikan segitiga ABC dengan perbandingan panjang sisi AC:CB=3:4. Garis bagi sudut luar C memotong perpanjangan BA di titik P (A\in PB). Tentukan PA:AB.

8. Berapa banyak tripel bilangan cacah (x,y,z) dengan x+y+z=99?

9. Tentukan semua bilangan asli n sehingga 6 habis membagi n(n-1)(2n-1).

10. Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi x^2<|2x-8|.

11. Dari 6 kartu bernomor 1 sampai 6 diambil dua kartu. Berapa peluang terambil dua kartu yang jumlah nomornya 6?

12. Pada trapesium dengan tinggi 4, kedua diagonalnya tegak lurus. Jika satu diagonalnya memiliki panjang 5, berapa luasnya?

13. Tentukan nilai dari \left(1-\frac23\right)\left(1-\frac25\right)\left(1-\frac27\right)\cdots\left(1-\frac2{2005}\right).

14. Santi dan Tini berlari sepanjang lintasan melingkar. Keduanya mulai dari titik P pada saat yang sama, tetapi arahnya berlawanan. Santi berlari 1,5 kali lebih cepat dari Tini. Jika PQ adalah diameter lingkaran lintasan itu dan mereka berpapasan pertama kali di R, berapa besar \angle RPQ?

15. Pada sisi-sisi SU,TS,UT dari segitiga STU, diambil titik P,Q,R sehingga SP=\frac14 SU, TQ=\frac12 TS, UR=\frac13 UT. Jika [STU]=1, tentukan [PQR].

16. Jika x,y\in\mathbb{R} sehingga (x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=1, berapa x+y?

17. Berapa banyak titik minimal yang diambil dari sebuah persegi dengan panjang sisi 2 sehingga dapat dijamin bahwa ada dua titik yang jaraknya tidak lebih dari \frac12\sqrt2.

18. Fungsi f memenuhi f(x)f(y)-f(xy)=x+y untuk semua bilangan bulat x,y. Berapa nilai f(2004)?

19. Tiga bilangan asli a_1,a_2,a_3 (a_1 yang terkecil, a_3 yang terbesar) memenuhi fpb(a_1,a_2,a_3)=1 tetapi fpb(a_1,a_2),fpb(a_2,a_3),fpb(a_3,a_1)>1. Tentukan a_1,a_2,a_3 agar jumlahnya minimal.

20. Definisikan a\circ b=a+b+ab. Kita sebut a adalah “faktor” dari c jika ada b sehingga a\circ b=c. Tentukan semua “faktor” positif dari 67.

Bagian kedua (7 poin per soal)

1. Tentukan semua tripel bilangan real (x,y,z) sehingga x^2+4=y^3+4x-z^3,y^2+4=z^3+4y-x^3,z^2+4=x^3+4z-y^3.

2. Pada segitiga ABC diberikan titik D,E,F pada sisi BC,CA,AB sehingga garis AD,BE,CF berpotongan di titik O. Buktikan \frac{AO}{AD}+\frac{BO}{BE}+\frac{CO}{CF}=2.

3. Beni, Coki dan Doni tingggal serumah dan belajar di sekolah yang sama. Setiap pagi ketiganya berangkat pada saat yang sama. Untuk sampai ke sekolah Beni memerlukan waktu 2 menit, Coki memerlukan waktu 4 menit, sedangkan Doni memerlukan waktu 8 menit. Selain itu tersedia sebuah sepeda yang hanya dapat dinaiki satu orang. Dengan sepeda, setiap orang memerlukan waktu hanya 1 menit. Tunjukkan bahwa adalah mungkin bagi ketiganya untuk sampai ke sekolah dalam waktu tidak lebih dari 2 3/4 menit.

4. Tunjukkan bahwa tidak ada bilangan bulat m>0,k,e\ge2 sehingga m(m^2+1)=k^e.

5. Jika P_1,P_2,P_3,P_4,P_5 adalah titik letis berbeda pada bidang, buktikan bahwa terdapat sepasang titik P_i,P_j sehingga terdapat satu titik letis pada ruas garis P_iP_j.

Kunci Jawaban dan Petunjuk

Written by olimpiadematematika

17 Mei 2009 pada 13:08

%d blogger menyukai ini: