Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

OSP 2002

1. Misalkan A=(-1)^{-1},B=(-1)^1,C=1^{-1}. Berapakah A+B+C?

2. Jika y=\frac{x-1}{2x+3}, tuliskan x sebagai fungsi dari y.

3. Misalkan S=(x-2)^4+8(x-2)^3+24(x-2)^2+32(x-2)+16. Tuliskan S dalam sesedikit mungkin suku penjumlahan.

4. Bilangan real 2,525252… adalah bilangan rasional, sehingga dapat ditulis dalam bentuk \frac{m}n di mana m,n bilangan bulat, n\ne0. Jika dipilih m dan n yang relatif prima, berapakah m+n?

5. Misalkan M dan m berturut-turut menyatakan bilangan terbesar dan bilangan terkecil di antara semua bilangan 4-angka yang jumlah keempat angkanya adalah 9. Berapakah faktor prima terbesar dari M-m?

6. Tinjau persamaan yang berbentuk x^2+bx+c=0. Berapa banyak persamaan demikian yang memiliki akar-akar real jika b,c\in\{1,2,3,4,5,6\}?

7. Diketahui tiga bilangan k,m,n. Pernyataan “jika k\ge m,maka k>n” tidak benar. Apakah pernyataan yang benar dalam hal ini?

8. Sebuah saluran air seharusnya dibuat dengan menggunakan pipa berdiameter 10 cm. Akan tetapi yang tersedia hanyalah pipa-pipa kecil yang berdiameter 3 cm. Supaya kapasitas saluran tidak lebih kecil daripada yang diinginkan, berapakah banyaknya pipa 3 cm yang perlu dipakai sebagai penggnati satu pipa 10 cm?

9. Sebuah segitiga sama sisi, persegi, dan lingkaran memiliki keliling yang sama. Luas mana yang terbesar?

10. Sebuah segitiga memiliki panjang sisi 7,10,12. Jika sisi-sisinya diperpanjang menjadi tiga kali lipat, berapa rasio luas segitiga yang terbentuk dengan segitiga awal?

11. n pengurus organisasi terbagi menjadi 4 komisi. Setiap pengurus adalah anggota dari 2 komisi. Setiap 2 komisi memiliki tepat satu pengurus yang sama. Berapakah nilai n?

12. Didefinisikan a*b=a+b+Ab untuk semua bilangan real a,b. Jika S=\{a\text{ bilangan real } a*(-a)>a\}< tuliskan S sebagai sebuah selang (interval).

13. Sisi AB dari segitiga ABC berimpit dengan diameter sebuah setengah lingkaran. Titik C bergerak sedemikian rupa sehingga titik tengah AC selalu berada pada setengah lingkaran. Tentukan lengkungan tempat kedudukan C.

14. Cari bilangan bulat terbesar yang membagi semua bilangan berikut 1^5-1,2^5-2,\ldots.

15. Jika a_1+a_2\cdot2!+a_3\cdot3!+\cdots+a_n\cdot n! dengan a_k\in[0,k] bilangan bulat untuk semua k dan a_n\ne0. Tentukan semua pasangan (n,a_n).

16. Berapa sisanya jika 43^{43^43} dibagi 100?

17. Empat pasang suami istri duduk di sebuah kursi. Laki-laki dan perempuan boleh duduk bersebelahan jika dan hanya jika mereka suami istri. Berapa banyak penyusunan yang mungkin?

18. Berapa banyak bilangan 4 digit \overline{abcd} dengan a\le b\le c\le d?

19. Diberikan segi-2002 beraturan. Tentukan banyaknya segitiga yang dibentuk dari titik-titik sudut segitiga tetapi sisi-sisinya bukan sisi dari segi-2002 tersebut.

20. Lomba lari maraton diikuti empat sekolah. Setiap sekolah mengirimkan lima pelari. Pelari yang masuk pada urutan ke-1,2,3,4,5,6 mendapat nilai 7,5,4,3,2,1 berturut-turut, yang lain mendapat 0. Nilai sekolah dihitung dari jumlah nilai kelima pelarinya. Sekolah A ternyata menang, dan tidak ada yang masuk finish bersamaan. Ada berapa banyak kemungkinan nilai sekolah tersebut?

1. Lima buah bilangan asli berbeda k,l,m,n,p dipilih. Diberikan lima informasi:
a) untuk setiap dua bilangan, salah satunya habis dibagi yang lainnya;
b) m adalah yang terbesar atau yang terkecil;
c) p tidak membagi m dan k sekaligus;
d) n\le l-p;
e) k atau p membagi n tetapi tidak sekaligus keduanya.
Tentukan urutan yang mungkin.

2. Tentukan semua bilangan bulat positif p sehingga \frac{3p+25}{2p-5} juga bulat positif.

3. Diberikan sebuah bilangan 6-angka. Buktikan bahwa keenam angka bilangan tersebut dapat disusun ulang sedemikian rupa, sehinggga jumlah tiga angka pertama dan jumlah tiga angka terakhir berselisih tidak lebih dari 9.

4. Diberikan segitiga sama sisi ABC dan titik P sehingga jarak P ke A dan C tidak lebih dari jarak P ke B. Buktikan bahwa PB=PA+PC jika dan hanya jika P terletak pada lingkaran luar ABC.

5. Bangun datar yang dibentuk empat persegi dan seperti huruf T disebut tetromino. a) Tunjukkan bahwa kita bisa menutup papan catur 8\times 8 dengan 16 tetromino. b) Tunjukkan bahwa kita tidak bisa menutup papan 10\times 10 dengan 25 tetromino. Tidak boleh ada tetromino yang tumpang tindih dan penutupan harus sempurna tanpa celah.

Kunci jawaban dan petunjuk

Iklan

Written by olimpiadematematika

3 Mei 2009 pada 17:49

%d blogger menyukai ini: