Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

Indonesia 2008

Hari pertama (3 jam)

1. Diberikan segitiga ABC. Titik D,E,F berada di luar segitiga ABC sehingga ABD,BCE,CAF adalah segitiga sama sisi. Buktikan bahwa lingkaran luar ABD,BCE,CAF konkuren. S
2. Buktikan bahwa untuk setiap x,y\in\mathbb{R}^+, \frac1{(1+\sqrt{x})^2}+\frac1{(1+\sqrt{y})^2}\ge\frac2{x+y+2}. S
3. Cari semua bilangan asli S yang dapat dinyatakan dalam S=\frac{a+b}c+\frac{b+c}a+\frac{c+a}b dengan a,b,c\in\mathbb{N} dan memenuhi FPB(a,b)=FPB(b,c)=FPB(c,a)=1. S
4. Diberikan himpunan A=\{1,2,3,\ldots,2008\}. a) Tentukan banyaknya subhimpunan dari A sehingga hasil kali anggotanya habis dibagi 7. b) Jika N(i) adalah banyaknya subhimpunan sehingga jumlah anggotanya bersisa i jika dibagi 7, buktikan bahwa N(0)-N(1)+N(2)-N(3)+N(4)-N(5)+N(6)-N(7)=0. S

Hari kedua (3 jam)

5. Misalkan m,n>1 adalah bilangan bulat sedemikian rupa sehingga n|4^m-1,2^m|n-1. Haruskah n=2^m+1? S
6. Ada 21 orang yang berhubungan secara rahasia dengan menggunakan frekuensi gelombang radio yang berbeda. Ada pasangan dua orang yang dapat berhubungan, dan boleh ada yang tidak dapat berhubungan. Setiap pasangan berhubungan hanya dengan satu frekuensi tertentu dan tidak bisa digunakan pasangan lain. Dari setiap tiga orang, selalu ada dua orang yang tidak dapat berhubungan. Tentukan banyaknya frekuensi maksimum. S
7. Diberikan segitiga ABC yang panjang sisi-sisinya a,b,c. Garis-garis singgung lingkaran dalam ABC yang sejajar dengan sisi-sisi segitiga membentuk tiga segitiga kecil. Dalam masing-masing segitiga kecil dibuat lingkaran dalam. Buktikan bahwa jumlah luas keempat lingkaran dalam ini adalah \frac{\pi(a^2+b^2+c^2)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}{(a+b+c)^3}. S
8. Tentukan semua fungsi f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} sehingga f(mn)+f(m+n)=f(m)f(n)+1 untuk semua bilangan asli n. S
Iklan

Written by olimpiadematematika

8 April 2009 pada 17:16

%d blogger menyukai ini: