Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

Indonesia 2007

Hari pertama (3 jam)

1. Misalkan ABC adalah segitiga dengan \angle ABC=\angle ACB=70^{\circ}. Misalkan D pada sisi BC sehingga AD adalah garis tinggi, titik E pada AB sehingga \angle ACE=10^{\circ}, dan titik F adalah perpotongan AD dengan CE. Buktikan bahwa CF=BC. S
2. Untuk setiap bilangan asli n, b(n) menyatakan banyaknya faktor positif dari n dan p(n) adalah jumlah semua faktor positif dari n. Misalkan k adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1. a) Buktikan bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan asli n sehingga b(n)=k^2-k+1. b) Buktikan bahwa ada terhingga banyaknya bilangan asli n sehingga p(n)=k^2-k+1. S
3. Misalkan a,b,c adalah bilangan real sehingga 5(a^2+b^2+c^2)<6(ab+bc+ca). Buktikan bahwa ketiga ketaksamaan berikut berlaku: a+b>c,b+c>a,c+a>b. S
4. Suatu susunan 10 digit dari 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 disebut cantik apabila (i) jika dibaca dari kiri ke kanan, 0,1,2,3,4 berada dalam urutan naik sementara 5,6,7,8,9 berada dalam urutan turun, (ii) 0 bukan digit paling kiri. Tentukan banyaknya susunan cantik. S

Hari kedua (3 jam)

5. Misalkan r,s adalah dua bilangan asli dan P adalah petak-petak dengan r baris dan s kolom. Misalkan M adalah banyaknya benteng terbanyak pada P sehingga tidak ada yang saling serang. a) Tentukan M. b) Ada berapa cara menempatkan M benteng pada P sehingga tidak ada yang saling serang? S
6. Cari semua tripel bilangan real (x,y,z) yang memenuhi x=y^3+y-8\\y=z^3+z-8\\z=x^3+x-8 S
7. Empat titik A,B,C,D berada pada keliling lingkaran S di mana AB adalah diameter, tetapi CD tidak. Diberikan juga bahwa C dan D berada pada sisi yang berbeda dari AB. Garis singgung pada C dan D berpotongan di P. Diketahui juga Q\in AC\cap BD,R\in AD\cap BC. a) Buktikan bahwa P,Q,R kolinear. b) Buktikan bahwa QR tegak lurus AB. S
8. Misalkan m,n adalah dua bilangan asli. Jika ada tak terhingga banyaknya bilangan bulat k sehingga k^2+2kn+m^2 adalah bilangan kuadrat sempurna, buktikan m=n. S

Written by olimpiadematematika

7 April 2009 pada 20:12

%d blogger menyukai ini: