Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

Indonesia 2003

Hari pertama (3 jam)

1. Buktikan bahwa a^9-a habis dibagi 6 untuk setiap bilangan bulat a. S
2. Diberikan sebuah segiempat ABCD. Misalkan P,Q,R,S adalah titik tengah dari AB,BC,CD,DA berturut-turut. Misalkan juga PR dan QS berpotongan di O. Buktikan bahwa PO=OR,QO=OS. S
3. Tentukan semua solusi bilangan real dari \lfloor x^2\rfloor+\lceil x^2\rceil=2003. S
4. Diberikan sebuah matriks 19\times 19 yang setiap komponennya +1 atau -1. Misalkan b_i adalah hasil kali komponen-komponen baris ke-i dan k_j adalah hasil kali komponen-komponen kolom ke-j. Buktikan bahwa b_1+k_1+b_2+k_2+\cdots+b_{19}+k_{19}\ne0. S

Hari kedua (3 jam)

5. Jika a,b,c adalah bilangan real, buktikan bahwa 5a^2+5b^2+5c^2\ge 4ab+4bc+4ca dan tentukan kapan kesamaan terjadi. S
6. Balairung sebuah istana berbentuk segi-6 beraturan dengan panjang sisi 6 meter. Lantai balairung tersebut ditutupi dengan ubin-ubin keramik berbentuk segitiga samasisi dengan panjang sisi 50 cm. Setiap ubin keramik dibagi ke dalam 3 daerah segitiga yang kongruen (dibuat garis dari pusat segitiga ke ketiga titik sudutnya). Setiap daerah segitiga diberi satu warna tertentu sehingga setiap ubin memiliki tiga warna berbeda. Raja menginginkan agar tidak ada dua ubin yang memiliki pola warna sama. Paling sedikit berapa warna yang diperlukan? S
7. Misalkan k,m,n adalah bilangan-bilangan asli sedemikian sehingga k>n>1 dan k,n relatif prima. Jika k-n|k^m-n^{m-1}, buktikan k\le 2n-1. S
8.Diketahui segitiga ABC siku-siku di C dengan panjang sisi-sisinya merupakan bilangan bulat. Tentukan panjang sisi-sisi segitiga tersebut jika hasil kali dari dua sisi yang bukan sisi miring sama dengan tiga kali keliling segitiga. S

Written by olimpiadematematika

5 April 2009 pada 15:26

%d blogger menyukai ini: