Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

IMO 1969

Hari pertama

1. Buktikan bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan asli m sehingga n^4+m bukan bilangan prima untuk sebarang bilangan asli n. S
2. Misalkan f(x)=f(x)=\cos(a_{1}+x)+{1\over2}\cos(a_{2}+x)+{1\over4}\cos(a_{3}+x)+\ldots+{1\over2^{n-1}}\cos(a_{n}+x), di mana a_i adalah konstanta real dan x adalah variabel real. Jika x_1,x_2 adalah akar-akar dari f, buktikan bahwa x_1-x_2 adalah kelipatan dari \pi. S
3. Untuk k=1,2,3,4,5, tentukan syarat perlu dan cukup untuk a>0 sehingga terdapat tetrahedron dengan k rusuk dengan panjang a dan sisanya memiliki panjang 1. S

Hari kedua

4. Misalkan AB adalah diameter dari lingkaran \Gamma. Titik C\ne A,B dipilih pada lingkaran \Gamma. Titik D adalah proyeksi C ke AD. Tiga lingkaran \Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3 menyinggung AB sedemikian sehingga \Gamma_1 adalah lingkaran dalam ABC, \Gamma_2,\Gamma_3 menyinggung CD dan \Gamma. Buktikan bahwa \Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3 punya garis singgung yang sama selain AB. S
5. Diberikan n>4 titik pada bidang, tidak ada tiga yang kolinear. Buktikan bahwa ada minimal \frac{(n-3)(n-4)}2 segiempat konveks yang dibentuk dari titik-titik tersebut. S
6. Diberikan bilangan real x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2 dengan x_1,x_2>0,x_1y_1>z_1^2,x_2y_2>z_2^2. Buktikan bahwa

{8\over(x_{1}+x_{2})(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})^{2}}\le{1\over x_{1}y_{1}-z_{1}^{2}}+{1\over x_{2}y_{2}-z_{2}^{2}}.

Tentukan syarat perlu dan cukup agar kesamaan terjadi.

S
Iklan

Written by olimpiadematematika

4 Mei 2009 pada 22:40

%d blogger menyukai ini: