Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

IMO 1967

Hari pertama

1. Jajar genjang ABCD dengan AB=A,AD=1,\angle BAD=\alpha dan segitiga ABD adalah segitiga lancip. Buktikan bahwa lingkaran-lingkaran berjari-jari 1 dengan pusat A,B,C,D menutup seluruh jajar genjang jika dan hanya jika a\le\cos \alpha+\sqrt3\sin \alpha. S
2. Suatu tetrahedron memiliki satu dan hanya satu rusuk yang panjangnya lebih besar dari 1. Buktikan bahwa volumenya tidak lebih besar dari 1/8. S
3. Misalkan k,m,n adalah bilangan asli sehingga m+k+1 adalah bilangan prima yang lebih besar dari n+1. Jika c_s=s(s+1), buktikan bahwa (c_{m+1}-c_k)(c_{m+2}-c_k)\ldots(c_{m+n}-c_k) habis dibagi c_1c_2\ldots c_n. S

Hari kedua

4. Diberikan segitiga lancip A_0B_0C_0 dan A_1B_1C_1. Tunjukkan dengan bukti bagaimana cara membuat segitiga ABC dengan A_0\in BC, B_0\in CA, C_0\in AB dan sebangun dengan A_1B_1C_1, sehingga luas ABC maksimum. S
5. Misalkan a_1,\ldots,a_8 adalah bilangan-bilangan real, tidak semuanya nol. Misalkan juga c_n=a_1^n+\ldots+a_8^n untuk n\in\mathbb{N}. Pada barisan (c_n), ada tak berhingga banyaknya yang nilainya 0. Tentukan semua nilai n sehingga c_n=0. S
6. Pada sebuah ajang olahraga, sejumlah m medali diberikan selama n hari. Pada hari ke-i, sejumlah i medali dan sepertujuh dari medali sisanya diberikan, untuk i=1,2,\ldots,n-1. Pada hari terakhir, sisa n medalinya diberikan. Berapa lamakah ajang tersebut berlangsung dan berapa banyaknya medali total? S
Iklan

Written by olimpiadematematika

3 Mei 2009 pada 8:26

%d blogger menyukai ini: