Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

IMO 1966

Hari pertama

1. Ada tiga soal A, B, C dalam suatu kompetisi matematika. Ada 25 peserta yang mengerjakan minimal satu soal. Di antara peserta yang tidak mengerjakan soal A, banyaknya peserta yang mengerjakan B adalah dua kali lipat yang mengerjakan soal C. Peserta yang mengerjakan hanya soal A adalah satu lebih banyak daripada peserta yang mengerjakan soal A dan setidaknya satu soal lainnya. Di antara peserta yang hanya mengerjakan satu soal, setengahnya tidak mengerjakan soal A. Berapa peserta yang hanya mengerjakan soal B? S
2. Misalkan a,b,c adalah sisi-sisi segitiga dan A,B,C adalah sudut di seberang sisi-sisi tersebut. Jika a+b=\tan\frac{C}2(a\tan A+b\tan B) buktikan segitiga itu sama kaki. S
3. Buktikan bahwa jumlah jarak dari titik-titik sudut sebuah tetrahedron beraturan dan pusatnya lebih kecil dari jumlah jarak titik-titik tersebut ke titik lain manapun pada ruang. S

Hari kedua

4. Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat n dan x\ne\frac{k\pi}{2^t} (t=0,1,\ldots,n; k bilangan bulat), maka \frac{1}{\sin{2x}}+\frac{1}{\sin{4x}}+\dots+\frac{1}{\sin{2^{n}x}}=\cot{x}-\cot{2^{n}x}. S
5. Selesaikan sistem persamaan

|a_{1}-a_{2}|x_{2}+|a_{1}-a_{3}|x_{3}+|a_{1}-a_{4}|x_{4}=1 \\|a_{2}-a_{1}|x_{1}+|a_{2}-a_{3}|x_{3}+|a_{2}-a_{4}|x_{4}=1 \\ |a_{3}-a_{1}|x_{1}+|a_{3}-a_{2}|x_{2}+|a_{3}-a_{4}|x_{4}=1 \\|a_{4}-a_{1}|x_{1}+|a_{4}-a_{2}|x_{2}+|a_{4}-a_{3}|x_{3}=1

di mana a_1,a_2,a_3,a_4 adalah empat bilangan real berbeda.

S
6. Misalkan P,Q,R adalah titik pada sisi-sisi BC,CA,AB berturut-turut. Buktikan bahwa satu dari segitiga AQR,BRP,CPQ memiliki luas tidak lebih dari seperempat luas ABC. S
Iklan

Written by olimpiadematematika

24 April 2009 pada 10:27

%d blogger menyukai ini: