Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

IMO 1965

Hari pertama

1. Cari semua bilangan real x\in[0,2\pi] yang memenuhi 2\cos x\le |\sqrt{1+\sin 2x}-\sqrt{1-\sin2x}|\le\sqrt2. S
2. Perhatikan sistem persamaan
a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0, \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0, \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0,
di mana koefisien-koefisiennya memenuhi syarat: (a) a_{11},a_{22},a_{33} adalah bilangan real positif; (b) koefisien lainnya semua negatif; (c) pada masing-masing persamaan, jumlah koefisiennya positif. Buktikan bahwa x_1=x_2=x_3=0 adalah satu-satunya penyelesaiannya dari sistem tersebut.
S
3. Diberikan tetrahedron ABCD. Tetrahedron tersebut dibagi menjadi dua bagian oleh bidang \pi yang sejajar terhadap AB dan CD. Hitunglah rasio volume dari kedua bagian jika rasio jarak dari \pi ke AB terhadap jaraknya ke CD adalah k. S

Hari kedua

4. Carilah semua kemungkinan empat bilangan real x_1,x_2,x_3,x_4 sehingga jumlah dari salah satu bilangan manapun dengan hasil kali tiga bilangan lainnya adalah 2. S
5. Diberikan segitiga OAB sehingga \angle AOB<90^{\circ}. Misalkan M adalah titik di segitiga yang berbeda dari O. Misalkan P,Q adalah proyeksi dari M ke OA,OB berturut-turut. Misalkan H adalah titik tinggi dari segitiga OPQ. Tentukan tempat kedudukan titik H ketika: (a) M berada pada ruas garis AB; (b) M berada di dalam segitiga AOB. S
6. Diberikan himpunan n\ge3 titik pada bidang. Misalkan d adalah jarak terjauh dari dua titik pada himpunan tersebut. Buktikan bahwa banyaknya pasang titik yang jaraknya d kurang dari atau sama dengan n. S
Iklan

Written by olimpiadematematika

14 April 2009 pada 19:26

%d blogger menyukai ini: