Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

IMO 1964

1. a) Cari semua bilangan asli n sehingga 2^n-1 habis dibagi 7. b) Buktikan bahwa untuk semua bilangan asli n, 2^n+1 tidak habis dibagi 7. S
2. Misalkan a,b,c adalah panjang sisi-sisi segitiga. Buktikan bahwa a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc. S
3. Lingkaran dalam dibuat di dalam segitiga ABC. Tiga garis singgung dibuat, masing-masing sejajar dengan satu sisi segitiga ABC. Garis-garis singgung ini membentuk tiga segitiga kecil di dalam segitiga ABC. Dari tiga segitiga kecil ini, dibuat lingkaran dalam. Tentukan jumlah luas keempat lingkaran dalam. S
4. Masing-masing dari 17 siswa berbicara dengan setiap siswa lainnya. Mereka berbicara tentang tiga topik yang berbeda. Setiap pasang siswa berbicara tentang satu topik. Buktikan bahwa ada tiga siswa yang berbicara tentang topik yang sama di antara mereka. S
5. Ada lima titik pada bidang, sehingga setiap dua garis yang menghubungkan mereka tidak sejajar, tidak tegak lurus, dan tidak berimpit. Dari setiap titik, dibuat garis tegak lurus terhadap garis-garis yang menghubungkan empat titik lainnya. Tentukan banyaknya perpotongan maksimum dari garis-garis tegak lurus ini. S
6. Diberikan tetrahedron ABCD, misalkan D_0 adalah titik berat segitiga ABC. Dari titik A,B,C dibuat garis yang sejajar terhadap DD_0 dan memotong sisi di seberangnya pada A_1,B_1,C_1. Buktikan bahwa volume tetrahedron ABCD adalah sepertiga dan volume tetrahedron A_1B_1C_1D_0. Apakah ini tetap benar jika D_0 adalah sebarang titik di dalam segitiga ABC? S

Written by olimpiadematematika

12 April 2009 pada 15:41

%d blogger menyukai ini: