Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

APMO 1991

Waktu: 4 jam

1. Diberikan segitiga ABC, G titik berat, M titik tengah BC, X,Y pada AB,AC sehingga XY melalui G dan sejajar BC. Misalkan XC,GB berpotongan di Q, sedangkan YB,GC berpotongan di P. Tunjukkan bahwa MPQ sebangun dengan ABC. S
2. Ada 997 titik pada bidang. Setiap dua titik dihubungkan dengan ruas garis yang titik tengahnya diberi warna merah. Buktikan bahwa ada minimal 1991 titik merah yang berbeda pada bidang. Apakah ada kasus khusus dengan tepat 1991 titik merah? S
3. Misalkan a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n adalah bilangan real positif dengan a_1+a_2+\cdots+a_n=b_1+b_2+\cdots+b_n. Tunjukkan bahwa \frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+\cdots+\frac{a_n^2}{a_n+b_n}\ge\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}2. S
4. Sebanyak n siswa duduk pada lingkaran. Seorang guru memilih satu anak dan memberinya permen. Kemudian ia melewati satu anak dan memberikan permen ke anak berikutnya, kemudian ia melewati dua anak dan memberikan permen ke anak berikutnya, dan seterusnya. Tentukan nilai n sehingga semua anak bisa mendapat permen. S
5. Diberikan dua lingkaran bersinggungan dan titik A pada garis singgung persekutuannya yang tegak lurus terhadap garis yang menghubungkan titik-titik pusatnya. Konstruksikan dengan penggaris dan jangka semua lingkaran yang menyinggung kedua lingkaran ini dan melalui titik A. S

Written by olimpiadematematika

5 Mei 2009 pada 22:00

%d blogger menyukai ini: