Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

APMO 1990

Waktu: 4 jam

1. Diberikan segitiga ABC, misalkan D,E,F adalah titik tengah dari BC,AC,AB berturut-turut dan G adalah titik berat dari segitiga ABC. Untuk setiap nilai \angle BAC, berapa banyak segitiga tidak sebangun sehingga AEGF adalah segiempat tali busur? S
2. Misalkan a_1,a_2,\ldots,a_n adalah bilangan real positif dan misalkan S_k adalah jumlah dari hasil kali semua kombinasi k elemen dari a_1,a_2,\ldots,a_n (contohnya jika n=3 maka S_1=a_1+a_2+a_3,S_2=a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1,S_3=a_1a_2a_3). Tunjukkan bahwa S_kS_{n-k}\ge\binom{n}{k}^2a_1a_2\cdots a_n untuk k=1,2,\ldots,n-1. S
3. Perhatikan semua segitiga ABC dengan alas tertentu AB dan tinggi dari C adalah konstan h. Kapankah hasil kali garis-garis tingginya maksimum? S
4. Suatu himpunan 1990 orang dibagi menjadi subhimpunan-subhimpunan yang saling lepas sehingga 1) Tidak ada orang di subhimpunan yang mengenal semua orang lainnya pada subhimpunan itu, 2) Dari tiga orang di satu subhimpunan, selalu ada dua orang yang tidak saling kenal, 3) Untuk setiap dua orang di satu subhimpunan yang tidak saling kenal, ada tepat satu orang pada subhimpunan itu yang mengenal kedua orang itu. a) Buktikan bahwa pada satu subhimpunan, setiap orang mengenal sejumlah orang yang sama. b) Tentukan banyaknya subhimpunan maksimum. S
5. Untuk semua bilangan bulat n\ge6, tunjukkan bahwa ada segienam konveks yang dapat dibagi-bagi menjadi n segitiga kongruen. S

Written by olimpiadematematika

3 Mei 2009 pada 21:37

%d blogger menyukai ini: