Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

APMO 1989

Waktu: 4 jam

1. Misalkan x_1,x_2,\ldots,x_n adalah bilangan real positif dan S adalah jumlahnya. Buktikan bahwa (1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\le1+S+\frac{S^2}{2!}+\frac{S^3}{3!}+\cdots+\frac{S^n}{n!}. S
2. Buktikan bahwa persamaan 6(6a^2+3b^2+c^2)=5n^2 tidak memiliki solusi bulat selain a=b=c=n=0. S
3. Misalkan A_1,A_2,A_3 adalah titik pada bidang, dan misalkan A_4=A_1,A_5=A_2. Untuk n=1,2,3, misalkan B_n adalah titik tengah A_nA_{n+1}, C_n adalah titik tengah A_nB_{n+1}. Anggaplah A_nC_{n+1} dan B_nA_{n+2} bertemu di D_n, A_nB_{n+1} dan C_nA_{n+2} bertemu di E_n. Hitunglah rasio dari luas D_1D_2D_3 terhadap luas E_1E_2E_3. S
4. Misalkan S adalah himpunan m pasang bilangan asli (a,b) dengan sifat 1\le a<b\le n. Buktikan bahwa ada minimal 4m\cdot\frac{(m-\frac{n^2}4)}{3n} tripel (a,b,c) sehingga (a,b),(b,c),(c,a). S
5. Tentukan semua fungsi f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} yang monoton naik dan f(x)+g(x)=2x, di mana g(x) adalah fungsi invers dari f(x). S
Iklan

Written by olimpiadematematika

13 April 2009 pada 18:53

%d blogger menyukai ini: