Kunci Jawaban dan Petunjuk OSP 2006

1. 912
2. 230
3. {-1,1,2}
4. 73
5. 1/8, 1/64, 1/512
6. 4374
7. 3
8. $\pm3$
9. 8
10. $\frac{18}5$
11. 12
12. 3
13. 3
14. 40%
15. 4/3
16. -12
17. $\frac{180^{\circ}}7$
18. 360
19. 973
20. 2/3

1. Misalkan $BF\cap AE=M$ , $\angle MAF=\alpha,\angle AFM=\beta$ . Kita punya $\tan \alpha=\frac{ED}{AD}=\frac{BD}{2AD}=\frac{\tan A}2$ dan $\tan\beta=\frac{BD}{DF}=\frac{2BD}{DC}=2\tan C$ . Tetapi $\tan A\tan C=1$ , sehingga $\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$ tidak terdefinisi, akibatnya $\alpha+\beta=90^{\circ}$ dan $AE\perp BF$ terbukti.

2. Jika hanya diambil 1003, kita bisa ambil 1,2,3,…,1003, tidak ada yang jumlahnya 2006. Tetapi jika diambil 1004, menurut prinsip rumah merpati pada pasangan berikut: (1,2005), (2,2004), (3,2003), …, (1002,1004), (1003), maka pasti ada dua bilangan yang jumlahnya 2006.

3. Kita punya

$FPB(7n+5,5n+4)=FPB(2n+1,5n+4)=FPB(2n+1,n+2)=FPB(3,n+2)=1,3$

maka bagian a terbukti. Nilai $d=3$ tercapai jika $n+2$ habis dibagi 3, yaitu $n=3k+1$ , bagian b juga selesai.

4. Jika pada lemparan pertama muncul satu angka dan satu gambar, lemparan kedua dan ketiga harus muncul dengan gambar, maka peluangnya $\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18$ . Sekarang anggaplah pada lemparan pertama muncul dua gambar. Peluang ini $\frac12\cdot\frac12=\frac14$ . Jika lemparan kedua memunculkan satu angka dan satu gambar, lemparan ketiga harus memunculkan gambar, peluangnya $\frac12\cdot\frac12=\frac14$ . Maka peluang pada kasus ini $\frac14\cdot\frac14=\frac1{16}$ . Jika pada lemparan kedua muncul dua gambar, lemparan ketiga tidak boleh muncul dua angka, maka peluangnya $\frac14\cdot\frac34=\frac3{16}$ . Jadi peluang kasus ini $\frac14\cdot\frac3{16}=\frac3{64}$ . Jadi peluang totalnya $\frac18+\frac1{16}+\frac3{64}=\frac{15}{64}$ .

5. Perhatikan bahwa diskriminan ketiga persamaan harus kuadrat sempurna. Jadi $a^2-b,b^2-c,c^2-a$ juga kuadrat sempurna. Tetapi $a^2-b\le(a-1)^2$ , jadi $b\ge2a-1$ . Dengan cara yang sama, $c\ge 2b-1,a\ge2c-1$ . Jadi $a\ge2c-1\ge2(2b-1)-1\ge2(2(2a-1)-1)-1)-1=8a-7$ . Jadi $a\le1$ . Karena $a$ bilangan asli $a=1$ . Kita juga dapat $b=1,c=1$ .