IMO 1965 #3

3. Diberikan tetrahedron $ABCD$ . Tetrahedron tersebut dibagi menjadi dua bagian oleh bidang $\pi$ yang sejajar terhadap $AB$ dan $CD$ . Hitunglah rasio volume dari kedua bagian jika rasio jarak dari $\pi$ ke $AB$ terhadap jaraknya ke $CD$ adalah $k$ .

Solusi:

Misalkan $E\in AC, F\in BC, G\in BD, H\in AD$ sehingga $EFGH$ adalah penampang bidang $\pi$ . Misalkan juga $X\in AB$ adalah titik sehingga $HX\parallel DB$ . Jelas bahwa $V_{AEHBFG}=V_{AXEH}+V_{XEHBFG}$ . Misalkan $MN$ adalah garis yang tegak lurus terhadap garis $AB$ dan $CD$ ( $M\in AB, N\in CD$ ) dan misalkan $MN,BN$ memotong bidang $\pi$ pada $Q,R$ berturut-turut. Maka jelas bahwa $BR/RN=MQ/QN=k$ , sehingga $AX/XB=AE/EC=AH/HD=BF/FC=BG/GD=k$ . Jadi $V_{AXEH}/V_{ABCD}=k^3/(k+1)^3$ . Jika $h=3V_{ABCD}/L_{ABC}$ adalah tinggi tetrahedron $ABCD$ dari titik $D$ , maka $V_{XEHBFG}=\frac12L_{XBFE}\frac{k}{k+1}h$ dan $\frac{L_{XBFE}}{L_{ABC}}=\frac{L_{ABC}-L_{AXE}-L_{EFC}}{L_{ABC}}=\frac{(k+1)^2-1-k^2}{(k+1)^2}=\frac{2k}{(1+k)^2}$ . Maka kita punya $V_{XEHBFG}/V_{ABCD}=3k^2/(1+k)^3$ , dan $V_{A E H B F G}/V_{A B C D}=(k^3+3k^2)/(k+1)^3$ . Maka kita juga dapat $V_{CEFDHG}/V_{ABCD}=(3k+1)/(k+1)^3$ , sehingga rasio yang dicari adalah $(k^3+3k^2)/(3k+1)$ .