OSP 2008
Bagian pertama
1. Banyaknya pembagi positif dari 2008 adalah …
2. Cara menyusun huruf-huruf MATEMATIKA dengan kedua T tidak berdekatan ada sebanyak …
3. Jika dan , maka
4. Dua dari panjang garis tinggi segitiga lancip, berturut-turut sama dengan 4 dan 12. Jika panjang garis tinggi yang ketiga dari segitiga tersebut merupakan bilangan bulat, maka panjang maksimum garis tinggi segitiga tersebut adalah …
5. Dalam bidang , banyaknya garis yang memotong sumbu di titik dengan absis bilangan prima dan memotong sumbu di titik dengan ordinat bilangan bulat positif serta melalui titik adalah …
6. Diberikan segitiga , tegak lurus sedemikian rupa sehingga dan . Jika , maka luas segitiga adalah …
7. Jika dan bilangan bulat yang memenuhi , maka
8. Diberikan segitiga , dengan , dan . Jika , maka besarnya sudut adalah …
9. Seratus siswa suatu Provinsi di Pulau Jawa mengikuti seleksi tingkat Provinsi dan skor rata-ratanya adalah 100. Banyaknya siswa kelas II yang mengikuti seleksi tersebut 50% lebih banyak dari siswa kelas III, dan skor rata-rata siswa kelas III 50% lebih tinggi dari skor rata-rata siswa kelas II. Skor rata-rata siswa kelas III adalah …
10. Diberikan segitiga dengan , dan . Titik dan berturut-turut pada dan sedemikian rupa sehingga membagi segitiga menjadi dua bagian dengan luas yang sama. Panjang minimum adalah …
11. Misalkan , , dan bilangan rasional. Jika diketahui persamaan mempunyai 4 akar real, dua di antaranya adalah dan . Nilai dari adalah …
12. Diketahui segitiga dengan sisi-sisi , , dan . Nilai sama dengan 16 kali luas segitiga . Besarnya nilai adalah …
13. Diberikan . Misalkan dan adalah bilangan-bilangan real positif yang memenuhi . Nilai minimum dari adalah …
14. Banyak bilangan bulat positif kurang dari 2008 yang mempunyai tepat bilangan kurang dari dan relatif prima terhadap adalah …
15. Suatu polinom memenuhi persamaan untuk setiap bilangan real. Derajat (pangkat tertinggi ) adalah …
16. Anggap satu tahun 365 hari. Peluang dari 20 orang yang dipilih secara acak ada dua orang yang berulang tahun pada hari yang sama adalah …
17. Tiga bilangan dipilih secara acak dari {1,2,3,…,2008}. Peluang jumlah ketiganya genap adalah …
18. Misalkan menyatakan banyaknya anggota himpunan . Jika dan , maka nilai yang mungkin untuk adalah …
19. Diketahui adalah garis tinggi dari segitiga . , , . Luas segitiga adalah …
20. Nilai dari
Bagian kedua
1. Carilah semua pasangan bilangan asli yang memenuhi .
2. Diberikan polinom real dan . Misalkan persamaan mempunyai 2008 selesaian real dan . Tunjukkan bahwa persamaan mempunyai selesaian real.
3. Lingkaran dalam dari segitiga , menyinggung sisi-sisi , , dan berturut-turut di , , dan . Melalui , ditarik garis tegak lurus yang memotong di . Buktikan bahwa .
4. Bilangan 1, 2, 3, …, 9 disusun melingkar secara acak. Buktikan bahwa ada tiga bilangan berdekatan yang jumlahnya lebih besar dari 15.
5. Tentukan banyaknya bilangan positif 5-angka palindrom yang habis dibagi 3. Palindrom adalah bilangan/kata yang sama jika dibaca dari kiri ke kanan atau sebaliknya. Sebagai contoh 35353 adalah bilangan palindrom, sedangkan 14242 bukan.