Olimpiade Matematika

Kanada 1983 #5

Johan — Thu, 25 Jun 2009 12:56:30 +0000

5. Buktikan bahwa rata-rata geometri dari himpunan bilangan positif sama dengan rata-rata geometri dari rata-rata geometri dari semua himpunan bagian tak kosong dari .

Solusi:

Misalkan . Maka rata-rata geometri adalah . Tinjau satu elemen . Ini muncul sebanyak kali pada himpunan bagian elemen, dengan eksponen pada rata-rata geometrinya. Jadi eksponen pada rata-rata dari rata-rata geometri adalah

sama dengan rata-rata geometri .

Kanada 1983 #4

Johan — Thu, 25 Jun 2009 12:52:55 +0000

4. Untuk setiap bilangan prima , buktikan bahwa ada tak hingga banyaknya bilangan asli sehingga habis membagi .

Solusi:

Jika , maka semua bilangan genap habis membagi . Anggap . Perhatikan bahwa dan menurut teorema Fermat. Jadi kita ambil untuk sebarang bilangan asli .

Kanada 1983 #3

Johan — Thu, 25 Jun 2009 12:51:40 +0000

3. Luas segitiga ditentukan oleh panjang sisi-sisinya. Apakah volume tetrahedron ditentukan oleh luas sisi-sisinya?

Solusi:

Tidak. Misalkan adalah segitiga sama sisi dan adalah segitiga yang sudutnya mendekati dan sama kaki, keduanya memiliki luas 4. Pada kedua segitiga, buat garis yang menghubungkan titik-titik tengah sisi-sisinya. Lipat kedua segitiga sepanjang garis-garis tersebut, maka pada masing-masing dan didapat empat segitiga dengan luas 1. Perhatikan bahwa menjadi tetrahedron beraturan dengan volume positif. Tetapi menjadi tetrahedron yang volumenya mendekati 0. Semakin dekat sudutnya dengan , volumenya semakin kecil. Jadi dua tetrahedron ini memiliki luas sisi-sisi yang sama tetapi volumenya berbeda, sehingga bukti kita selesai.

Kanada 1983 #2

Johan — Thu, 25 Jun 2009 12:50:55 +0000

2. Untuk setiap bilangan real misalkan adalah transformasi pada bidang yang membawa titik ke titik . Misalkan adalah kumpulan transformasi tersebut yaitu . Tentukan semua kurva yang grafiknya tidak berubah untuk setiap transformasi di .

Solusi:

Misalkan adalah kurva yang tidak berubah untuk setiap . Misalkan . Maka membawa ke . Jadi untuk semua bilangan real , akibatnya . Jadi . Misalkan . Maka membawa ke . Untuk sebarang 0' title='x>0' class='latex' />, misalkan . Maka dan . Misalkan , maka membawa ke . Untuk sebarang , misalkan . Maka dan . Jadi kita dapat fungsi yang memenuhi sebagai berikut:

0\\ 0 &\text{jika }x=0\\x\cdot^2\log(-x)-nx &\text{jika }x<0\end{cases}' title='f(x)=\begin{cases} x\cdot ^2\log x+mx &\text{jika }x> 0\\ 0 &\text{jika }x=0\\x\cdot^2\log(-x)-nx &\text{jika }x<0\end{cases}' class='latex' />

untuk sebarang bilangan real .

Kanada 1983 #1

Johan — Thu, 25 Jun 2009 12:43:34 +0000

1. Tentukan semua bilangan asli yang memenuhi .

Solusi:

Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan dulu . Maka sehingga . Jadi . Jika , maka dan , maka dan kita dapat . Jika , maka dan yang jelas tidak mungkin. Jadi .

Kanada 1982 #5

Johan — Fri, 05 Jun 2009 12:01:32 +0000

5. Garis-garis tinggi dari tetrahedron diperpanjang keluar sampai titik berturut-turut, di mana , , dan . Di sini, konstan dan menyatakan panjang garis tinggi dari titik , dan sebagainya. Buktikan bahwa titik berat dari tetrahedron berimpit dengan titik berat .

Solusi:

Buat sistem koordinat dengan pusat sebagai titik berat . Maka . Kita perlu menunjukkan atau . Perhatikan vektor . Vektor ini tegak lurus , maka sejajar terhadap . Besarnya adalah yaitu di mana adalah volume . Maka . Bentuk serupa bisa didapat untuk . Maka . Jadi titik berat dari juga di .

Kanada 1982 #4

Johan — Fri, 05 Jun 2009 12:00:56 +0000

4. Misalkan adalah permutasi dari himpunan . Suatu elemen disebut titik tetap dari jika . Misalkan adalah banyaknya permutasi tanpa titik tetap, dan adalah banyaknya permutasi dengan tepat satu titik tetap. Tunjukkan bahwa .

Solusi:

Untuk , jelas bahwa . Perhatikan bahwa karena untuk mendapat permutasi dengan satu titik tetap, kita melakukan dua langkah: 1) pilih satu bilangan yang menjadi titik tetap, ada cara; 2) susun bilangan lainnya tanpa titik tetap, ada cara. Sekarang tinjau sebuah permutasi tanpa titik tetap. Maka bisa dipilih dalam cara. Jika , susunan bilangan lainnya bisa dipilih dalam cara. Jika , bilangan lainnya disusun dalam cara. Jadi . Jadi . Jadi . Karena , maka terbukti bahwa untuk .

Kanada 1982 #3

Johan — Fri, 05 Jun 2009 11:58:50 +0000

3. Misalkan adalah ruang Euklidean dimensi. Tentukan banyaknya titik minimum pada himpunan di sehingga setiap titik di memiliki jarak irasional terhadap setidaknya satu titik di himpunan tersebut.

Solusi:

Jika , jelas bahwa . Kita bisa ambil dua titik, satu rasional dan satu irasional, dan jelas bahwa semua titik pada memiliki jarak irasional terhadap salah satu titik itu. Maka . Sekarang asumsikan 1' title='n>1' class='latex' />. Jika kita ambil dua titik, maka jelas ada tak hingga banyaknya titik yang jaraknya rasional terhadap kedua titik itu. Jika kita ambil tiga titik , titik tengah dan irasional, maka untuk setiap titik berlaku . Maka setidaknya satu dari pasti irasional. Jadi untuk 1' title='n>1' class='latex' />.

Kanada 1982 #2

Johan — Fri, 05 Jun 2009 11:58:23 +0000

2. Jika adalah akar-akar dari persamaan , tunjukkan bahwa berbeda dan tunjukkan bahwa adalah bilangan bulat.

Solusi:

Andaikan ada dua yang nilainya sama, . Kita punya . Maka , , , maka atau , keduanya tidak memenuhi . Jadi tidak ada akar yang nilainya sama. Misalkan , , . Perhatikan bahwa

Dengan cara yang sama, dan . Tetapi mudah diperiksa bahwa adalah bilangan bulat untuk , maka juga bilangan bulat.

Kanada 1982 #1

Johan — Fri, 05 Jun 2009 11:57:24 +0000

1. Diberikan dua segiempat dan titik di dalam segiempat sehingga sejajar dan sama panjang dengan untuk (). Tunjukkan bahwa luas dari dua kali luas .

Solusi:

Perpanjang sampai di mana dan perpanjang sampai sehingga . Perhatikan bahwa dan . Perhatikan juga bahwa segitiga kongruen terhadap , dan kongruen terhadap . Maka . Dengan cara yang sama , maka .