Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

Kanada 1983 #5

5. Buktikan bahwa rata-rata geometri dari himpunan bilangan positif S sama dengan rata-rata geometri dari rata-rata geometri dari semua himpunan bagian tak kosong dari S.

Solusi:

Misalkan S=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}. Maka rata-rata geometri S adalah (a_1a_2\ldots a_n)^{1/n}. Tinjau satu elemen a_i. Ini muncul sebanyak \binom{n-1}{k-1} kali pada himpunan bagian k elemen, dengan eksponen 1/k pada rata-rata geometrinya. Jadi eksponen a_i pada rata-rata dari rata-rata geometri S adalah

\frac1{2^n-1}\sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}\frac1k=\frac1{2^n-1}\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}\frac1n=\frac1n\left(\frac1{2^n-1}\left(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}-1\right)\right)=\frac1n,

sama dengan rata-rata geometri S.

Written by Johan

25 Juni 2009 pada 19:56

Ditulis dalam olimpiade matematika

Ditandai dengan , , , ,

«